Решите неравенство \(\sin x + \sqrt{\dfrac {2}{3}} \cos 2x + \cos x \leqslant 0\).

Решение

Преобразуем левую часть
\begin{multline*}
\sin x + \sqrt{\dfrac {2}{3}} \cos 2x + \cos x = \\
=\sin x + \sqrt{\dfrac{2}{3}}(\cos^2 x - \sin^2 x) + \cos x = \left( \cos x + \sin x \right)\left( \sqrt{\dfrac{2}{3}}\left( \cos x - \sin x \right) + 1 \right) = \\
= - 2\sqrt{\dfrac{2}{3}}\cos\left( x - \dfrac{\pi}{4} \right)\left( \sin\left( x - \dfrac{\pi}{4} \right) - \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) \leqslant 0.
\end{multline*}

Таким образом, исходное неравенство равносильно совокупности
\[\left[
\begin{array}{l}
\left\{
\begin{array}{l}
\cos\left( x - \dfrac{\pi}{4} \right) \geqslant 0;\\
\sin\left( x - \dfrac{\pi}{4} \right) \geqslant \dfrac{\sqrt{3}}{2};\\
\end{array}
\right. \\
\left\{
\begin{array}{l}
\cos\left( x - \dfrac{\pi}{4} \right) \leqslant 0;\\
\sin\left( x - \dfrac{\pi}{4} \right) \leqslant \dfrac{\sqrt{3}}{2}.\\
\end{array}
\right.
\end{array}
\right.\]

Эта совокупность равносильна соотношению \(\left( x - \dfrac{\pi}{4} \right) \in \left[ \dfrac{\pi}{3} + 2\pi n;\dfrac{\pi}{2} + 2\pi n \right] \cup \left[ -\dfrac{4\pi}{3} + 2\pi n;-\dfrac{\pi}{2} + 2\pi n \right],\quad n \in \mathbb{Z}\).
Тогда \(x \in \left[ \dfrac{7\pi}{12} + 2\pi n;\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi n \right] \cup \left[ -\dfrac{13\pi}{12} + 2\pi n;-\dfrac{\pi}{4} + 2\pi n \right], \quad n \in \mathbb{Z}\).

Ответ: \(\left[-\dfrac{13\pi}{12} + 2\pi n, -\dfrac{\pi}{4} + 2\pi n \right] \cup \left[\dfrac{7\pi}{12} + 2\pi n, \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi n \right], \quad n \in \mathbb{Z}\).