Решите неравенство \(\cos x + \sqrt{2} \cos 2x - \sin x \geqslant 0\).

Решение

Преобразуем левую часть
\begin{multline*}
\cos x + \sqrt{2}\cos 2x - \sin x = \\
= \cos x +\sqrt{2}(\cos^2 x-\sin^2 x)-\sin x = \left( \cos x-\sin x \right)\left( \sqrt{2}\left( \cos x + \sin x \right) + 1 \right) =\\
=-2\sqrt{2}\sin\left( x - \frac{\pi}{4} \right)\left( \cos\left( x - \frac{\pi}{4} \right) + \frac{1}{2} \right) \geqslant 0.
\end{multline*}

Таким образом, исходное неравенство равносильно совокупности
\[\left[
\begin{array}{l}
\left\{
\begin{array}{l}
\sin\left( x - \dfrac{\pi}{4} \right) \geqslant 0;\\
\cos\left( x - \dfrac{\pi}{4} \right) \leqslant -\dfrac{1}{2};\\
\end{array}
\right. \\
\left\{
\begin{array}{l}
\sin\left( x - \dfrac{\pi}{4} \right) \leqslant 0;\\
\cos\left( x - \dfrac{\pi}{4} \right) \geqslant -\dfrac{1}{2}.\\
\end{array}
\right.
\end{array}
\right.\]

Эта совокупность равносильна соотношению \(\left( x - \dfrac{\pi}{4} \right) \in \left[ \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi n; \pi + 2\pi n \right] \cup \left[ \dfrac{4\pi}{3} + 2\pi n; 2\pi + 2\pi n \right],\quad n \in \mathbb{Z}\).
Тогда \(x \in \left[ \dfrac{11\pi}{12} + 2\pi n; \dfrac{5\pi}{4} + 2\pi n \right] \cup \left[ \dfrac{19\pi}{12} + 2\pi n; \dfrac{9\pi}{4} + 2\pi n \right], \quad n \in \mathbb{Z}\).

Ответ: \( x \in \left[-\dfrac{5\pi}{12} + 2\pi n, \dfrac{\pi}{4} + 2\pi n \right] \cup \left[\dfrac{11\pi}{12} + 2\pi n, \dfrac{5\pi}{4} + 2\pi n \right], \quad \ n \in \mathbb{Z}\).