Решите неравенство \(\log_{1 + \log_x 7}\left( 1 + \log^2_7 x \right) \leqslant 1.\)

Решение

\(\href{https://examp.info/onedef/oblast-dopustimyh-znachenij/}{\text{ОДЗ}}\):

\(\begin{cases}
1+\log_x 7 > 0 \\
\log_x 7 \ne 0 \\
x > 0 \\
x \ne 1
\end{cases}
\quad\Leftrightarrow\quad
\begin{cases}
0< x < \frac{1}{7}\\
x > 1
\end{cases}\), так как

\(1+\log_x 7 > 0
\quad\Leftrightarrow\quad
\log_x 7 > -1
\quad\Leftrightarrow\quad
\left[
\begin{array}{l}
\left\{\begin{array}{l}
0 < x < 1 \\
\frac{1}{x} > 7
\end{array}\right. \\
\left\{\begin{array}{l}
x > 1 \\
\frac{1}{x} < 7.
\end{array}\right.
\end{array}\right.\)

Случай 1:

\(\begin{cases}
1+\log_x 7 > 1\ \\
1 + (\log_7 x)^2 \leqslant 1 + \log_x 7
\end{cases}
\quad\Leftrightarrow\quad
\begin{cases}
\log_x 7 > 0\ \\
(\log_7 x)^2 \leqslant \log_x 7.
\end{cases}\)

Пусть \(t = \log_7 x\), \(\log_x 7 = \frac{1}{t}\), \(t>0\):
\[
t^2 \leqslant \frac{1}{t}
\quad\Leftrightarrow\quad
t^3 \leqslant 1
\quad\Leftrightarrow\quad
t \leqslant 1
\quad\Leftrightarrow\quad
\log_7 x \leqslant 1
\quad\Leftrightarrow\quad
x \leqslant 7
\quad\Leftrightarrow\quad 1 < x \leqslant 7.
\]

Случай 2:

\(\begin{cases}
0 < 1+ \log_x 7 < 1 \\
1 + (\log_7 x)^2 \geqslant 1 + \log_x 7
\end{cases}
\quad\Leftrightarrow\quad
\begin{cases}
-1 < \log_x 7 < 0 \\
(\log_7 x)^2 \geqslant \log_x 7.
\end{cases}\)

Пусть \(t = \log_7 x\), \(\log_x 7 = \frac{1}{t}\), \(t<0\):
\[
t^2 \geqslant \frac{1}{t}
\quad\Leftrightarrow\quad
t^3 \leqslant 1
\quad\Leftrightarrow\quad
t \leqslant 1.
\]
Это верно для всех \(t<0\), поэтому \(0<x <\frac{1}{7}\).

Ответ: \(\left(0, \frac 17 \right) \cup (1, 7]\).