Решите уравнение \(\cos{6x} + \cos{5x} = \sin{x}\).

Решение

Применяя формулу суммы косинусов в левой части равенства:
\begin{equation*}
\cos \alpha + \cos \beta = 2\cdot \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cdot \cos \frac{\alpha - \beta}{2}.
\end{equation*}
Формулу синуса двойного угла в правой:
\begin{equation*}
\sin 2\alpha = 2\cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha.
\end{equation*}
Получаем:
\[\cos 6x +\cos 5x = \sin x \Leftrightarrow \]\[\Leftrightarrow
2\cos\dfrac{11x}{2}\cos\dfrac {x}{2} = 2\sin\dfrac {x}{2} \cos\dfrac {x}{2}
\Leftrightarrow \]\[
\Leftrightarrow \cos \dfrac x2 \left(\cos\dfrac{11x}{2}\ -\sin \dfrac {x}{2}\right)=0 \Leftrightarrow
\] \[
\Leftrightarrow
\cos \dfrac x2 \left(\sin{\left( \dfrac{11x}{2}+\dfrac{\pi}{2} \right)} -\sin \dfrac {x}{2}\right)=0
\Leftrightarrow \]\[
\Leftrightarrow
\left[ \begin{array}{l}
\dfrac {x}{2} = k\pi + \dfrac {\pi}{2}\\
\dfrac{11x}{2}+ \dfrac{\pi}{2}=\dfrac {x}{2} +2k\pi \\
\dfrac{11x}{2} + \dfrac{\pi}{2}= - \dfrac {x}{2} + (2k+1)\pi \end{array} \right. , \quad k \in \mathbb Z \Leftrightarrow \]\[ \Leftrightarrow
\left[ \begin{array}{l}
x = (2k+1)\pi\\
10x= - \pi + 4k\pi \\
12x= - {\pi} + 4k\pi + 4\pi \end{array} \right. ,
\quad k \in \mathbb Z
\Leftrightarrow \]\[
\Leftrightarrow
\left[ \begin{array}{l}
x = (2k+1)\pi\\
x= \dfrac{(-1+4k)\pi}{10} \\
x=\dfrac{(1+4k)\pi}{12} \end{array} \right. ,
\quad k \in \mathbb Z.\]

Ответ: \(x = (2k+1)\pi, \, \dfrac{(-1+4k)\pi}{10}, \, \dfrac{(1+4k)\pi}{12}, k \in \mathbb{Z}\).