Разность между наибольшим и наименьшим корнями уравнения \(x^2 + ax \hspace{0.2cm} - \hspace{0.1cm} 6 = 0\) равна 5. Найдите все возможные значения \(a.\)

Решение

Вычислим дискриминант данного квадратного трёхчлена:
\[\quad D = a^2 + 24.\]
Заметим, что дискриминант всегда больше нуля \(\Rightarrow\) при любом \(a\) уравнение будет иметь два различных корня. Вычислим их с помощью явных формул:
\[\, x_1 = \frac{-\hspace{0.1cm}a\hspace{0.1cm} - \hspace{0.1cm}\sqrt{D}}{2} < x_2 = \frac{-\hspace{0.1cm}a \hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm}\sqrt{D}}{2}. \]

Вычтем из большего корня меньший:\[\, x_2\hspace{0.1cm} -\hspace{0.1cm} x_1 = \frac{-\hspace{0.1cm}a\hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm}\sqrt{D}}{2} \hspace{0.1cm}- \frac{-\hspace{0.1cm}a \hspace{0.1cm}- \hspace{0.1cm}\sqrt{D}}{2} = \sqrt{D}. \]

По условию эта разность равна 5:\(\,\sqrt{D} = 5 \Rightarrow D = 25. \)

Вспоминая, что \(D = a^2 + 24\) получаем: \(a^2 + 24 = 25 \Rightarrow a^2 = 1. \)
Откуда \(a = \pm 1.\)

Ответ: \(\pm 1\).