Лыжник Григорий ехал по довольно пологому склону, но, проехав две трети пути, проявил неуклюжесть и сломал лыжи. Отбросив из за ненадобностью, он тут же побрел обратно. В момент поломки с вершины горы стартовал лыжник Василий и, проехав \(800\) метров, встретил Григория. Найдите длину трассы, если известно, что Василий закончил спуск ровно тогда, когда Григорий добрался до вершины горы. Скорости лыжников и пешехода считать постоянными.

Решение

Обозначим вершину горы, как \(\text{А}\), конец склона \(-\) \(\text{Б}\), \(\text{В}\) \(-\) место поломки лыж и \(\text{Г}\) \(-\) место встречи Григория и Василия. Тогда \(\text{АВ} = \dfrac{2}{3}\text{АБ}\) и \(\text{АГ} = 800\). Пусть \(v_1\) и \(v_2\) скорости лыжника и пешехода соответственно, \(t_1\) \(-\) время от момента поломки до момента встречи. Так как Григорий и Василий пришли одновременно в пункты назначения А и Б соответственно, то \(\dfrac{\text{АБ}}{v_1}=\dfrac{\text{АВ}}{v_2}\Rightarrow v_2=\dfrac{2}{3}v_1\). Так как лыжник и пешеход двигались навстречу, то \(\dfrac{\text{АВ}}{v_1 + v_2} = t_1 \Rightarrow v_1t_1 = \dfrac{3}{5}\text{АВ} = \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{3} \text{АБ} =\dfrac{2}{5}\text{АБ}\). Расстояние до места встречи \(\text{АГ}=v_1t_1=\dfrac{2}{5}\text{АБ} = 800\) метров \(\Rightarrow \text{АБ} = \dfrac{5}{2} \cdot 800 = 2000 \text{(метров)} = 2\) км.

Ответ: \(2\) км.