Решите уравнение \(\sin^2 x - \sin x \cdot \cos^2 \left( \dfrac{5x}{4} - \dfrac{17\pi}{24} \right) + \dfrac 14 = 0\).

Решение

Поскольку \(\sin x = 0\) не является решением, то разделим исходное уравнение на \(\sin x\) и преобразуем полученное выражение
\[\sin x - \cos^2 \left( \dfrac{5x}{4} - \dfrac{17\pi}{24} \right) + \dfrac{1}{4\sin x} = 0. \Leftrightarrow\]\[\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\sin x}{1/2} + \dfrac{1/2}{\sin x}\right) = \cos^2 \left( \dfrac{5x}{4} - \dfrac{17\pi}{24} \right).\]
По \(\href{https://examp.info/theorem/neravenstvo-o-srednem-arifmetichekom-i-srednem-geometricheskom/}{\text{неравенству между средними}}\) левая часть по модулю не меньше \(1\) и равна \(1\) тогда и только тогда, когда \(\sin x = \dfrac{1}{2}.\)
Правая же часть не превосходит \(1\).
Таким образом равенство достигается только в следующем случае
\[\left\{\begin{array}{l}
\sin x = \dfrac{1}{2}, \\
\cos \left( \dfrac{5x}{4} - \dfrac{17\pi}{24} \right) = \pm 1.
\end{array}\right. \Leftrightarrow\]\[
\Leftrightarrow
\left\{\begin{array}{l}
x = (-1)^k \dfrac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}, \\
\dfrac{5x}{4} - \dfrac{17\pi}{24} = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.
\end{array}\right. \Leftrightarrow\]\[
\Leftrightarrow
\left\{\begin{array}{l}
x = (-1)^k \dfrac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}, \\
x = \dfrac{17\pi}{30} + \dfrac{4\pi n}{5}, \quad n \in \mathbb{Z}.
\end{array}\right. \Leftrightarrow\]\[
\Leftrightarrow
(-1)^k \dfrac{\pi}{6} + \pi k = \dfrac{17\pi}{30} + \dfrac{4\pi n}{5}, \quad k, n \in \mathbb{Z}
\Leftrightarrow\]\[
\Leftrightarrow
30k\pi + 24n\pi = 17\pi - (-1)^k5\pi, \quad k, n \in \mathbb{Z}\Leftrightarrow\]получаем два \(\href{https://examp.info/theorem/resheniya-diofantovyh-uravnenij//}{\text{диофантовых уравнения}}\) в зависимости от чётности k, если k нечётно, то получаем \(30k + 24n = 22\), левая часть делится на 3, а правая нет, следовательно решений нет, если k нечётно. Далее проверим, что будет, если k чётно\[
\Leftrightarrow
30k + 24n = 12, \quad k, n \in \mathbb{Z}
\Leftrightarrow
\]\[
\Leftrightarrow
k = 2 + 4m, n = -2 - 5m, \quad m \in \mathbb{Z}
\Leftrightarrow
\]\[
\Leftrightarrow
x = \dfrac{13\pi}{6} + 4\pi m, \quad m \in \mathbb{Z}.
\]

Ответ: \(\dfrac{13\pi}{6} + 4\pi k, k \in \mathbb{Z}\).