Какое число больше: \(\sqrt{\dfrac{6}{7} + 7 + \dfrac{7}{6}}\) или \(3\)?

Решение

Достаточно сравнить подкоренное выражение с \(9\), то есть выражение \(\dfrac{6}{7} + \dfrac{7}{6}\) с двойкой. Можно сложить две дроби, а можно заметить, что это сумма взаимно обратных величин, которая по \(\href{https://examp.info/theorem/neravenstvo-o-srednem-arifmetichekom-i-srednem-geometricheskom/}{\text{неравенству между средними}}\) \( \left( a + b \geqslant 2\sqrt{a \cdot b} \Rightarrow \dfrac{m}{n} + \dfrac{n}{m} \geqslant 2\sqrt{\dfrac{m}{n} \cdot \dfrac{n}{m}} = 2 \right) \) не меньше двойки и равна ей тогда и только тогда, когда эти величины равны.

Ответ: Первое больше.