Окружности \(\Omega_1\) и \(\Omega_2\) с центрами в точках \(O_1\) и \(O_2\) касаются внешним образом в точке \(A\). Общая внешняя касательная к этим окружностям касается \(\Omega_1\) в точке \(B\) и пересекает в точке \(C\) общую касательную этих окружностей, проходящую через точку \(A\). Прямая, делящая угол \(ACO_1\) пополам, пересекает прямые \(O_1O_2\) и \(BO_1\) в точках \(L\) и \(D\) соответственно. Найдите \(LO_1\), если известно, что \(CO_2 = 2\), а прямые \(CO_2\) и \(DO_2\) перпендикулярны.

Решение

Центр окружности, вписанный в угол, лежит на его биссектрисе. Биссектрисы смежных углов перпендикулярны, так как сумма смежных углов равна \(180^{\circ}\), а этих же углов, делённых пополам \(- 90^{\circ}\). Следовательно \(\angle O_1CO_2 = 90^\circ\), а \(AC\) \(-\) высота прямоугольного треугольника \( O_1CO_2\), проведённая из вершины \(C\).
Пусть \(\angle ACO_1 = 2\alpha\). Тогда\[
\angle CO_2O_1 = \angle ACO_1 = 2\alpha, \angle ACL = \frac{1}{2}\angle ACO_1 = \alpha,
\]\[
\angle ACO_2 = 90^\circ - 2\alpha, \angle LCO_2 = \angle ACL + \angle ACO_2 = \alpha + 90^\circ - 2\alpha = 90^\circ - \alpha = \angle ALC =\angle O_2LC.
\]Следовательно, треугольник \(LCO_2\) равнобедренный, \(O_2C = O_2A\).
Поскольку прямые \(O_1C\) и \(DO_2\) \(\href{https://examp.info/theorem/nakrest-lezhashie-ugly/}{\text{перпендикулярны}}\) \(CO_2\), эти прямые параллельны, поэтому \[
\angle O_1DO_2 = \angle BO_1C = 90^\circ - 2\alpha = \angle O_1O_2D.
\] Значит треугольник \(O_1DO_2\) равнобедренный, \(O_1D = O_1O_2\).
Пусть \(O_1H\) \(-\) высота этого треугольника. Тогда\[
O_1C = O_2H = \frac{1}{2}DO_2.
\]Значит, треугольник \(DLO_2\) \(\href{https://examp.info/onedef/podobnye-treugolniki/}{\text{подобен}}\) треугольнику \(CLO_1\) с коэффициентом 2. Следовательно \(LO_1 = \frac{1}{2}LO_2 = \frac{1}{2}CO_2 = 1\).

Ответ: \(1\).