Разность между наибольшим и наименьшим корнями уравнения \(x^2 + ax + 6 = 0\) равна 1. Найдите все возможные значения \(a\).

Решение

Вычислим дискриминант данного квадратного трёхчлена: \( D = a^2 - 24.\)

Если дискриминант больше нуля уравнение будет иметь два различных корня. Вычислим их с помощью явных формул:\(\, x_1 = \frac{-\hspace{0.1cm}a\hspace{0.1cm} - \hspace{0.1cm}\sqrt{D}}{2} < x_2 = \frac{-\hspace{0.1cm}a \hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm}\sqrt{D}}{2}. \)

Вычтем из большего корня меньший:\(\, x_2\hspace{0.1cm} -\hspace{0.1cm} x_1 = \frac{-\hspace{0.1cm}a\hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm}\sqrt{D}}{2} \hspace{0.1cm}- \frac{-\hspace{0.1cm}a \hspace{0.1cm}- \hspace{0.1cm}\sqrt{D}}{2} = \sqrt{D}. \)
По условию эта разность равна 1:\(\,\sqrt{D} = 1 \Rightarrow D = 1 \) - больше нуля.
Вспоминая, что \(D = a^2 - 24\) получаем: \(a^2 - 24 = 1 \Rightarrow a^2 = 25. \)
Откуда \(a = \pm 5.\)

Ответ: \(\pm 5\).