Василий с друзьями решили устроить пикник. Для этого им от пункта \(A\) нужно добраться вниз по реке до пункта \(B\), причем в их распоряжении есть два катера. Считая себя самым ответственным, Василий вызвался самостоятельно доехать до пункта \(B\) на более быстроходном катере и начать готовить место для пикника. Оба катера вышли одновременно из пункта \(A\). Однако, промчавшись восемь километров, Василий заметил на берегу машущего ему рукой Григория, который просил по старой дружбе довезти его до пункта \(C\). И хоть пункт \(C\) Василий уже проехал, он согласился. По пути в пункт \(C\) Василий с Григорием встретили идущий навстречу второй катер с друзьями Василия, откуда те крикнули, что им до пункта \(B\) осталась треть пути и чтобы Василий нигде не задерживался. Доставив Григория в пункт \(C\), Василий немедленно помчался догонять друзей. Найдите расстояние между пунктами \(B\) и \(C\), если известно, что оба катера пришли в пункт \(B\) одновременно, скорости катеров постоянны, а Василий, действительно, нигде не задерживался.

Решение

\(\textbf{Решение 1 (аналитическое)}.\)

Пусть \(v_1\) \(-\) скорость медленного катера относительно берега, \(v_2\) и \(v_3\) \(-\) скорости быстрого катера относительно берега при движении вниз и вверх по реке соответственно. Пусть \(t_1\) \(-\) время между общим стартом и встречей Василия и Григория, \(t_2\) \(-\) время между встречей Василия и Григория и их встречей со вторым катером, \(t_3\) \(-\) время между встречей со вторым катером и прибытием в пункт \(C\) и \(t_4\) \(-\) время, ушедшее у Василия на дорогу от пункта \(C\) до пункта \(B\). Обозначим также буквой \(X\) место промежуточной встречи катеров. Тогда расстояние от \(A\) до \(X\) равно, с одной стороны, \(v_1(t_1+t_2)\) а с другой \(v_2 t_1 \ -v_3 t_2\). Аналогично, расстояние от \(X\) до \(B\) равно, с одной стороны, \(v_1(t_3+t_4)\), а с другой \(v_2 t_4 \ -v_3 t_3\). При этом первое расстояние по условию в два раза больше второго. Отсюда
\[\left\{ \begin{array}{lcl} t_1+t_2=2(t_3+t_4), \\ v_2 t_1\ - v_3 t_2 = 2(v_2 t_4\ -v_3 t_3); \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{lcl} t_1\ -2t_4=2t_3\ -t_2, \\ t_1\ - 2t_4 = (t_2\ -2t_3)\dfrac{v_3}{v_2}. \end{array} \right.\]
Домножим первое уравнение на \(\dfrac{v_3}{v_2}\) и сложим со вторым. Получим
\[(t_1\ -2t_4)\left(1+\dfrac{v_3}{v_2}\right)=0,\]
откуда \(t_1=2t_4\), то есть искомое расстояние равно половине от 8 км, то есть равно 4 км.

\(\textbf{Решение 2 (геометрическое)}.\)

1) Решим задачу геометрически. Рассмотрим систему координат, в которой горизонтальная ось выражает время, прошедшее с момента старта, а вертикальная ось - расстояние от старта (см. рисунок). По условию, все скорости постоянны, поэтому зависимость расстояния от времени будет линейной. Обозначим скорость быстроходного катера по течению реки, быстроходного катера против течения реки и катера с друзьями Василия за \(v_1\), \(v_3\) и \(v_2\), соответственно. На графике отрезок \(AL\) соответствует движению Василия до Григория, \(LK\) \(-\) движению Василия до пункта \(C\), \(KF\) \(-\) движению Василия до пункта \(B\), а \(AF\) \(-\) движению друзей от старта до места пикника.

Заметим, что отрезки \(AL\) и \(KF\) параллельны, так как оба отрезка соответствуют движению в одну сторону.

2) Точка \(O\) на графике соответствует встрече Василия и друзей, поэтому, очевидно, из условия, что \(OF:AO=1:2\). Рассмотрим треугольники \(ALO\) и \(FKO\): углы \(LAO\) и \(KFO\) равны, как накрест лежащие при параллельных прямых, а углы \(LOA\) и \(FOK\) равны как вертикальные. Из этого следует, что треугольники \(ALO\) и \(FKO\) \(-\) подобны, а значит \(AL:FK=AO:OF=2:1\). Тогда и проекции этих отрезков на вертикальную ось относятся как \(2:1\), т.е. \(AD:BC=2:1\). Тогда искомое расстояние \(BC = \frac{AC}{2} = \frac{8}{2} = 4\) км.

Ответ: \(4\) км.