В правильную треугольную призму с основаниями \(ABC\), \(A_1B_1C_1\) и ребрами \(AA_1\), \(BB_1\), \(CC_1\) вписана сфера радиуса \(\sqrt{13}\). Найдите расстояние между прямыми \(AE\) и \(BD\), где \(E\) и \(D\) — точки, лежащие на \(A_1B_1\) и \(B_1C_1\) соответственно, и \(A_1E:EB_1 = B_1D:DC_1 = 1:2\).

Решение

Пусть \(d\) — расстояние между прямыми. Опустим перпендикуляры \(EE_1\) и \(DD_1\) на \(A_1C_1\). \(B_1F_1\) — высота в правильном треугольнике. По \(\href{https://examp.info/theorem/falesa/}{\text{теореме Фалеса}}\) \(A_1E_1:E_1F_1=F_1D_1:D_1C_1=1:2\). Следовательно, \(E_1D_1=A_1F_1=AF\). Тогда плоскости \((AE_1E)\parallel(FD_1DB)\), так как \(AE_1\parallel FD_1\) и \(EE_1\parallel DD_1\).

Следовательно, расстояние между прямыми \(AE\) и \(BD\) равно расстоянию между плоскостями \((AE_1E)\) и \((FD_1DB)\). Так как \(F\) — середина \(AC\), то расстояние между плоскостями равно расстоянию от точки С до \((FD_1DB)\). Перпендикуляр из С к стороне \(FD_1\) перпендикулярен также и \(BF\), так как \(BF\perp(A_1ACC_1)\). Следовательно, перпендикуляр из С к стороне \(FD_1\) расстояние между прямыми \(AE\) и \(BD\).

Пусть \(r\) — искомый радиус сферы. Он равен радиусу окружности, вписанной в основание \(ABC\) призмы (чтобы это понять, достаточно спроектировать сферу на основание (см. второй рисунок)). На рисунке \(O\) — проекция центра сферы на основание, то есть центр вписанной окружности. Найдем \(FC\). По условию \(ABC\) — равносторонний треугольник, следовательно, \(FC=\mathop{\mathrm{tg}}{FOC} \cdot FO = \sqrt{3}r\). \(CK=3CC_1=3\cdot2r=6r\) Рассмотрим треугольник \(\triangle FCK\), где \(K\) — точка пересечения между прямыми \(FD_1\) и \(CC_1\). Тогда \(FK^2=FC^2+CK^2\) и \(\sin\angle FKC=\dfrac{FC}{FK}=\dfrac{d}{CK}\Rightarrow d=\dfrac{FC\cdot CK}{\sqrt{FC^2+CK^2}}=\dfrac{\sqrt{3}r\cdot 6r}{\sqrt{3r^2+36r^2}}=r\dfrac{6}{\sqrt{13}}=6\).

Ответ: \(6\).