Решите уравнение \(\log_x|3x^2 - 4| = 4\log_{|3x^2 - 4|} x\).

Решение

Запишем ОДЗ для \(x\).
\[\left\{
\begin{array}{l}
|3x^2-4| > 0;\\
|3x^2-4| \ne 1;\\
x > 0;\\
x\ne 1;\\
\end{array}
\right.
\Longleftrightarrow
\left\{
\begin{array}{l}
x\ne \sqrt{\dfrac{4}{3}};\\
x\ne \sqrt{\dfrac{5}{3}};\\
x > 0;\\
x\ne 1.\\
\end{array}
\right.\]
Сделаем замену \(\log_x|3x^2-4|=t\), получим уравнение \(t=\dfrac{4}{t}\), откуда \(t=\pm 2\). Следовательно, \[\log_x|3x^2-4|=\pm 2 \Rightarrow
\left[
\begin{gathered}
|3x^2-4|=x^2; \\
|3x^2-4|=\dfrac{1}{x^2}. \\
\end{gathered}
\right.\].
Решаем первое уравнение \(|3x^2-4|=x^2\). Если \(x^2\geqslant\dfrac{4}{3}\), то \(3x^2-4=x^2 \Leftrightarrow x^2=2 \Leftrightarrow x=\pm\sqrt{2}\). Если \(x^2 < \dfrac{4}{3}\), то \(-3x^2+4=x^2 \Leftrightarrow x^2=1 \Leftrightarrow x=\pm1\). Из первого уравнения корни \(x=\pm\sqrt{2},\pm1\).
Решаем второе уравнение \(|3x^2-4|=\dfrac{1}{x^2}.\) Если \(x^2\geqslant\dfrac{4}{3}\), то \(3x^2-4=\dfrac{1}{x^2} \Rightarrow 3x^4-4x^2-1=0 \Leftrightarrow x^2=\dfrac{2\pm\sqrt{7}}{3} \Leftrightarrow x= \pm\sqrt{\dfrac{2+\sqrt{7}}{3}}\), так как \(\dfrac{2+\sqrt{7}}{3}>\dfrac{4}{3}\), при этом второй корень равен \(\dfrac{2-\sqrt{7}}{3}<0\), когда \(x^2 > 0\).
Если \(x^2<\dfrac{4}{3}\), то \(-3x^2+4=\dfrac{1}{x^2}\Rightarrow 3x^4-4x^2+1=0\Leftrightarrow x^2=\dfrac{2\pm1}{3}\). Следовательно, корни второго \(x=\pm1,\pm\dfrac{1}{\sqrt{3}}, \pm\sqrt{\dfrac{2+\sqrt{7}}{3}}\).
Таким образом корнями системы являются \(x=\pm1,\pm\dfrac{1}{\sqrt{3}}, \pm\sqrt{\dfrac{2+\sqrt{7}}{3}}, \pm\sqrt{2}\) без учета ОДЗ. С учетом ОДЗ: \(x=\sqrt{2}, \sqrt{\dfrac{2+\sqrt{7}}{3}},\dfrac{1}{\sqrt{3}}\).

Ответ: \(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\), \(\sqrt{2}\), \(\dfrac{\sqrt{2 + \sqrt{7}}}{3}\).