Решите неравенство \(\log_{1 \hspace{0.1cm}- \hspace{0.1cm}\log_3 x}\left( 1 + \log^2_x 3 \right) \leqslant 1\).

Решение

Заметим, что при любом допустимом значении \(x\) выражение \(\log_x 3\) будет отлично от нуля (т.к. только логарифм от единицы равен нулю) \(\Rightarrow \log^2_x 3 + 1 > 1. \)
Если \(0 < 1 \hspace{0.1cm}- \hspace{0.1cm}\log_3 x < 1 < \log^2_x 3 + 1\), то логарифм по такому основанию от числа большего единицы будет отрицательным (т.к. в этом случае логарифм строго монотонно убывает, а его значение в единице равно нулю). В частности, будет выполнено неравенство в условии.
Если \(1 \hspace{0.1cm}- \hspace{0.1cm}\log_3 x > 1\), то логарифм по такому основанию строго монотонно возрастает \(\Rightarrow\) неравенство в условии будет выполняться при \(1 \hspace{0.1cm}- \hspace{0.1cm}\log_3 x \geqslant 1 + \log^2_x 3 > 1.\)
Случай \(1 \hspace{0.1cm}- \hspace{0.1cm}\log_3 x = 1\) мы не рассматриваем (т.к. данное выражение стоит в основании логарифма).
Из вышеперечисленного следует:
\[\log_{1 \hspace{0.1cm}- \hspace{0.1cm}\log_3 x}\left( 1 + \log^2_x 3 \right) \leqslant 1 \iff\]\[\left[
\begin{gathered}
0 < 1 \hspace{0.1cm}- \hspace{0.1cm}\log_3 x < 1\\
1 \hspace{0.1cm}- \hspace{0.1cm}\log_3 x \geqslant 1 + \log^2_x 3
\end{gathered}
\right.
\iff\]\[\left[
\begin{gathered}
0 < \log_3 x < 1\\
\log_3 x + \log^2_x 3 \leqslant 0
\end{gathered}
\right.\iff\]
По свойствам логарифма
\[\hspace{0.2cm}\log_x 3 = \frac{1}{\log_3 x},\hspace{0.2cm}\]
поэтому:
\[\left[
\begin{gathered}
0 < \log_3 x < 1\\
\log_3 x + \frac{1}{\log^2_3 x} \leqslant 0
\end{gathered}
\right.\iff\]\[\left[
\begin{gathered}
0 < \log_3 x < 1\\
\log^3_3 x + 1 \leqslant 0
\end{gathered}
\right.\iff\]\[\left[
\begin{gathered}
0 < \log_3 x < 1\\
\log_3 x \leqslant \hspace{0.1cm} -1
\end{gathered}
\right.\iff\]\[\left[
\begin{gathered}
1 < x < 3\\
0 < x \leqslant \frac13
\end{gathered}
\right.\]

Ответ: \(\left(0, \frac 13 \right] \cup (1, 3)\).