Две окружности касаются внутренним образом в точке \(S\). Хорда \(AB\) внешней окружности касается внутренней окружности в точке \(T\). Прямая \(TS\) пересекает внешнюю окружность в точках \(S\) и \(C\). Найдите площадь четырехугольника \(SACB\), если известно, что \(CA = 5\), \(CB \parallel AS\), а радиусы окружностей относятся как \(11:16\).

Решение

1) Прежде всего заметим, что четырёхугольник \(SACB\) - равнобокая трапеция (так как только такие трапеции бывают вписанными). А значит \(BS = AC = 5.\)

2) Обозначим угол \(\angle BCS\) за \(\alpha\). Тогда \(\angle BAS = \angle BCS = \alpha\) как \( \href{https://examp.info/theorem/o-vpisannom-ugle/}{ \text{вписанные углы} } \), опирающиеся на общую дугу \(\smallsmile BS.\) В свою очередь, \(\angle CBT = \angle BAS = \alpha\) как накрест лежащие углы при параллельных прямых \(BC\) и \(AS\) и секущей \(AB.\)

3) Пусть \(M\) \(-\) точка пересечения заданных касательных \(l\) и \(k\) к меньшей окружности в точках \(S\) и \(T\) соответственно. Тогда угол \(\angle MSB\) \( \href{https://examp.info/theorem/ob-ugle-mezhdu-kasatelnoj-i-hordoj/}{ \text{между касательной} } \) \(l\) и хордой \(BS\) равен половине градусной меры дуги \(\smallsmile BS\). Этой же величине равняется вписанный угол \(\angle BAS\), опирающийся на ту же дугу. Поэтому \(\angle MSB = \angle BAS = \alpha\).

4) Согласно формуле суммы углов треугольника для \(\triangle CBT\): \(\angle BTC = 180^\circ - 2\alpha,\) поэтому смежный ему для \(\angle BTS = 2\alpha.\) \(MS = MT\) как отрезки касательных, проведённых из одной точки. Значит, \(\angle MST = \angle MTS = 2\alpha\) как углы при основании равнобедренного треугольника \(\triangle SMT.\) Отсюда \(\angle BST = \angle MST - \angle MSB = \alpha = \angle BCS.\) Но это равные углы при основании треугольника \(\triangle CBS,\) следовательно он равнобедренный и \(BC = BS = 5.\)

5) Осталось отыскать нижнее основание и высоту трапеции. Заметим, что \(\triangle CBT\) подобен \(\triangle SAT\) по \( \href{https://examp.info/theorem/priznaki-podobiya-treugolnikov/}{ \text{признаку подобия треугольников} } \) по двум углам (\(\angle CBT = \angle SAT = \alpha\), а \(\angle CTB = \angle STA\) как вертикальные). Отсюда \(AS : BC = ST : CT \Rightarrow AT = 5 \cdot \frac{ST}{CT}\).

6) Пусть линия центров второй раз пересекает большую и меньшую окружности в точках \(P\) и \(Q\) соответственно. Тогда \(\triangle PCS\) подобен \(\triangle QTS\) по признаку подобия прямоугольных треугольников (\(\angle PCS = \angle QTS = 90^\circ\) \(-\) вписанные углы, опирающиеся на диаметры; \(\angle CSP = \angle TSQ\) \(-\) совпадают). Поэтому \(SC : ST = SP : SQ = 16 : 11 \Rightarrow \frac{ST}{CT} = \frac{11}{16\hspace{0.1cm} - \hspace{0.1cm}11} = \frac{11}{5}\) \(\Rightarrow AS = 11\).

7) Опустим высоту \(BH\), тогда \(HS = 3\) и из \( \href{https://examp.info/theorem/pifagora/}{ \text{теоремы Пифагора} } \) для прямоугольного треугольника \(\triangle BHS\) получаем \(BH = 4\). Согласно формуле площади трапеции: \(S_{SACB} = \frac{AS + BC}{2} \cdot BH = \frac{11 + 5}{2} \cdot 4 = 32.\)

Ответ: \(32\).