Найдите все пары \((x, y)\), при которых достигается минимум выражения \(\frac{2 - \sin x}{2 + \cos 2x} + \frac{2 + \cos 2x}{(y + 1)^2} + \frac{(y + 1)^2}{2\sqrt{y} + 1} + \frac{2\sqrt{y} + 1}{2 - \sin x}.\)

Решение

1) Обозначим \(a = \frac{2 - \sin x}{2 + \cos 2x}, b = \frac{2 + \cos 2x}{(y + 1)^2}, c = \frac{(y + 1)^2}{2\sqrt{y} + 1}, d = \frac{2\sqrt{y} + 1}{2 - \sin x}.\)
Согласно \(\href{https://examp.info/theorem/neravenstva-o-srednih/}{\text{неравенству средних}}\) получаем:
\[\frac{a + b + c + d}{4} \geqslant \sqrt[4]{abcd} = 1 \Rightarrow a + b + c + d \geqslant 4.\]
При этом, равенство достигается только при \(a = b = c = d = 1.\)

2) Решим относительно \(y\) уравнение:
\[\frac{(y + 1)^2}{2\sqrt{y} + 1} = 1\Leftrightarrow\]\[\Leftrightarrow(y + 1)^2 = 2\sqrt{y} + 1\Leftrightarrow\] \[\Leftrightarrow(y + 1)^2 - 2\sqrt{y} - 1 = 0\]
Данное выражение существует лишь при неотрицательных \(y,\) а его производная \(2(y + 1) \frac{1}{\sqrt{y}} > 0\) при \(y > 0.\)
Т.е. \((y + 1)^2 - 2\sqrt{y} - 1\) монотонно возрастает при допустимых \(y,\) а при \(y = 0\) имеет место равенство \[(y + 1)^2 - 2\sqrt{y} - 1 = 1 - 1 = 0.\] Это означает, что \(y = 0\) - единственное решение.

3) При этом же \(y\) решим уравнение: \[\frac{2\sqrt{y} + 1}{2 - \sin x} = 1\] \[\frac{1}{2 - \sin x} = 1\] \[\sin x = 1.\] Откуда \(x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z}.\)
Нетрудно убедиться, что при данных \(x\) и \(y\) остальные отношения так же равны единице.

Ответ: \(x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \ n \in \mathbb{Z}, \ y = 0\).