В правильную треугольную призму с основаниями \(ABC\), \(A'B'C'\) и ребрами \(AA'\), \(BB'\), \(CC'\) вписана сфера. Найдите ее радиус, если известно, что расстояние между прямыми \(AE\) и \(BD\) равно \(\sqrt{13}\), где \(E\) и \(D\) – точки, лежащие на \(A'B'\) и \(B'C'\) соответственно, и \(A'E : EB' = B'D : DC' = 1 : 2\).

Решение

Пусть \(d\) - расстояние между прямыми \(AE\) и \(BD\). Обозначим через \(F\) и \(F'\) середины рёбер \(AC\) и \(A'C'\) соответственно. Опустим перпендикуляры \(EE'\) и \(DD'\) на \(A'C'\). \(B'F'\) - высота в правильном треугольнике. По \(\href{https://examp.info/theorem/falesa/}{ \text{теореме Фалеса}}\) \(A'E' : E'F' = F'D' : D'C' = 1 : 2\). Следовательно, \(E'D' = A'F' = AF\), то есть прямые \(AE'\) и \(FD'\) параллельны. Поскольку \(EE'\) и \(DD'\) также параллельны, получаем, что плоскости \(\alpha = (AE'E) \parallel \beta = (FD'DB)\). Следовательно, расстояние между прямыми \(AE\) и \(BD\) равно расстоянию между плоскостями \(\alpha\) и \(\beta\). Так как \(F\) - середина \(AC\), то расстояние между плоскостями равно расстоянию от точки \(С\) до \(\beta\). Перпендикуляр из \(С\) к стороне \(FD'\) перпендикулярен также и \(BF\), так как \(BF \perp (A'ACC')\). Следовательно, перпендикуляр из \(С\) к стороне \(FD'\) \(-\) расстояние между прямыми \(AE\) и \(BD\).

Пусть \(r\) \(-\) искомый радиус сферы. Рассмотрим треугольник \(\triangle FCK\), где \(K\) \(-\) точка пересечения между прямыми \(FD'\) и \(CC'\). Следовательно,\(\sqrt{3} r = FC\) и \(CK = 3 CC' = 3 \cdot 2r = 6r\). Тогда \(FK^2 = FC^2 + CK^2\), по \(\href{https://examp.info/theorem/pifagora/}{ \text{теореме Пифагора}}\), и \(\sin\angle FKC = \dfrac{FC}{FK} = \dfrac{d}{CK} \Rightarrow \)
\( \Rightarrow d = \dfrac{FC \cdot CK}{\sqrt{FC^2 + CK^2}} = \dfrac{\sqrt{3}r \cdot 6r}{\sqrt{3r^2 + 36r^2}} = r \dfrac{6}{\sqrt{13}}\). Следовательно, \(r = d\dfrac{\sqrt{13}}{6} = \dfrac{13}{6}\).

Ответ: \(\dfrac{13}{6}\).