Решите уравнение \(6\cos^2 x + 3\cos 2x = 5\sin 2x \hspace{0.1cm}- 2\).

Решение

Воспользуемся формулами синуса и косинуса двойного угла:
\[\hspace{1cm}6\cos^2 x + 3(2\cos^2 x \hspace{0.1cm}- 1) = 10\sin x\cos x \hspace{0.1cm}- 2.\] \[\hspace{1cm}12\cos^2 x \hspace{0.1cm}- 10\sin x\cos x = 1\] Далее, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: \[\hspace{1cm}12\cos^2 x \hspace{0.1cm}- 10\sin x\cos x = \cos^2 x + \sin^2 x\] \[\hspace{1cm}11\cos^2 x \hspace{0.1cm}- 10\sin x\cos x \hspace{0.1cm}- \sin^2 x = 0\] \[\hspace{1cm}\sin^2 x + 10\sin x\cos x \hspace{0.1cm}- 11\cos^2 x = 0\] Заметим, что \(\cos x = 0\) не является корнем (так как иначе и \(\sin x = 0\), чего одновременно быть не может).
Поделим на \(\cos x \neq 0\): \(\hspace{1cm}\text{tg}^2 x + \text{tg} x \hspace{0.1cm}- 11 = 0\).
Следовательно: \(\left[
\begin{gathered}
\text{tg} \hspace{0.1cm}x = 1, \\
\text{tg} \hspace{0.1cm}x = \hspace{0.1cm} -11.
\end{gathered}
\right.\)
Откуда: \(\left[
\begin{gathered}
x = \frac{\pi}{4} + \pi n\\
x = \hspace{0.1cm}-\mathop{\mathrm{arctg}} 11 + \pi n
\end{gathered}
\right.,n \in \mathbb{Z}\).

Ответ: \(\frac{\pi}{4} + \pi n, -\mathop{\mathrm{arctg}} 11 + \pi n, \ n \in \mathbb{Z}\).