Окружность касается середины стороны \(BC\) треугольника \(ABC\) и пересекает сторону \(AB\) в точках \(D\) и \(E\), так что \(AD:DE:EB = 1:2:1\). Чему может равняться радиус окружности, если \(\angle BAC = 30^{\circ}\) и \(AC = 2/3\)?

Решение

Пусть \(O\) — центр окружности c радиусом \(r\), \(F\) — середина \(BC\), \(\angle CAB=\alpha\), \(\angle BCA=\beta\). \(OF\) — серединный перпендикуляр, так как радиус к касательной. \(\triangle OBC\) равнобедренный и \(OC = OB.\) \(\triangle OED\) также равнобедренный, так как \(OD=OE\) — радиусы.

Следовательно, высота \(OH\) из вершины O к стороне \(ED\) также медиана. Тогда \(AH=HB\), так как \(AD=BE\), \(DH=EH.\) Отсюда \(\triangle OBA\) тоже равнобедренный \(AO=OB=OC.\) Следовательно, точка O равноудалена от вершин треугольника и является центром описанной окружности с радиусом \(R.\)

Центральный угол \(\angle BOC\) и вписанный \(\angle CAB\) опираются на одну дугу, следовательно, \(\angle BOC = 2 \alpha\), так как \(\angle BOF\) — половина центрального угла описанной окружности. Тогда \(\angle BOF=\alpha\) и \(R=\dfrac{r}{\cos\alpha}.\)

По \(\href{https://examp.info/theorem/teorema-sinusov/}{\text{теореме синусов}}\):\[\dfrac{AC}{\sin(\pi-\alpha-\beta)}=2R\Rightarrow r=\dfrac{AC\cos\alpha}{2\sin(\alpha+\beta)}=\dfrac{AC}{2(\mathop{\mathrm{tg}} \alpha\cos\beta+\sin\beta)}.\]
Снова применяя теорему синусов, получим \(\dfrac{AB}{\sin \beta}=\dfrac{BC}{\sin \alpha}\Rightarrow\sin \beta =\dfrac{AB\sin\alpha}{BC}=\dfrac{4BE\sin\alpha}{2BF}=\dfrac{2BE\sin\alpha}{BF}.\)

Из теоремы \(\href{https://examp.info/theorem/teorema-o-kvadrate-kasatelnoj}{\text{о секущей и касательной к окружности}}\) с радиусом r:

\[BE\cdot DB= BF^2\Rightarrow BF=\sqrt{BE\cdot DB}=\sqrt{3BE^2}=\sqrt{3}BE.\]

Следовательно,\(\sin \beta=\dfrac{2BE\sin\alpha}{\sqrt{3}BE}=\dfrac{2\sin\alpha}{\sqrt{3}}=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\).

Тогда \(\cos\beta=\pm\sqrt{\dfrac{2}{3}}\): +, если угол \(\angle BCA\) острый; -, если угол \(\angle BCA\) тупой.
Таким образом, \(r=\dfrac{AC}{2(\mathop{\mathrm{tg}} \alpha\cos\beta+\sin\beta)}=\dfrac{\dfrac{2}{3}}{2\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\cdot\left(\pm\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)+\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)}=\dfrac{1}{\sqrt{3}\pm\sqrt{2}}=\sqrt{3}\mp\sqrt{2}.\)

Ответ: \(\sqrt{3} \pm \sqrt{2}\).