Какое число больше: \(\sqrt{\dfrac 79 + 7 + \dfrac 97}\) или 3?

Показать решение

Известно, что \(a + b + c = 4\) и \(ab + bc + ac = 5\). Найдите \(a^2 + b^2 + c^2\).

Показать решение

Решите уравнение \(\sin8x-\sin7x=\sin x.\)

Показать решение

Решите неравенство \(x^2\log^2_5 x + 5\log^2_4 x \leqslant x\log_5 x \cdot \log_4 x^6\).

Показать решение

Через вершины \(A\) и \(C\) треугольника \(ABC\) проведена окружность, касающаяся прямых \(AB\) и \(BC\). На этой окружности выбрана точка \(D\) (внутри треугольника), лежащая на расстоянии \(1\) от прямой \(AC\) и на расстоянии \(\sqrt{7}\) от прямой \(AB\). Найдите угол \(\angle DAB\), если известно, что \(\angle CAD = \angle ABD\).

Показать решение

Григорий с друзьями решили устроить пикник. Для этого им от пункта А нужно добраться вниз по реке до пункта В, причем в их распоряжении есть два катера. Считая себя самым ответственным, Григорий вызвался самостоятельно доехать до пункта В на более быстроходном катере и начать готовить место для пикника. Оба катера вышли одновременно из пункта А. Однако, промчавшись шесть километров, Григорий заметил на берегу машущего ему рукой Василия, который просил по старой дружбе довезти его до пункта С. И хоть пункт С Григорий уже проехал, он согласился. По пути в пункт С Василий с Григорием встретили идущий навстречу второй катер с друзьями Григория, откуда те крикнули, что им до пункта В осталась четверть пути и чтобы Григорий нигде не задерживался. Доставив Василия в пункт С, Григорий немедленно помчался догонять друзей. Найдите расстояние между пунктами В и С, если известно, что оба катера пришли в пункт В одновременно, скорости катеров постоянны, а Григорий, действительно, нигде не задерживался.

Показать решение

Из вершины \(D\) на плоскость основания \(ABC\) пирамиды \(ABCD\) опущена высота \(DH\). Найдите объем этой пирамиды, если известно, что площади треугольников \(\Delta HBC\), \(\Delta HAC\), \(\Delta HAB\) равны соответственно \(\dfrac{2}{11}\), \(\dfrac{4}{11}\), \(\dfrac{5}{11}\) и что все три плоских угла при вершине \(D\) прямые.

Показать решение

Решите систему уравнений \[ \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{x}{\cos(x^2 - y^2)} + y \cdot \mathop{\mathrm{tg}}(x^2 - y^2) = \sqrt{\dfrac{\pi}{2}} \, , \\ \dfrac{y}{\cos(x^2 - y^2)} + x \cdot \mathop{\mathrm{tg}}(x^2 - y^2) = -\sqrt{\dfrac{\pi}{6}} \, . \end{array} \right.\]

Показать решение

Какое число больше: \(\sqrt{\dfrac {8}{9} + 7 + \dfrac {9}{8}}\) или \(3\)?

Показать решение

Известно, что \(a + b + c = 7\) и \(a^2 + b^2 + c^2 = 19\). Найдите \(ab + bc + ac\).

Показать решение

Решите уравнение \(\cos 8x - \cos 9x = \sin x\).

Показать решение

Решите неравенство \(x^2\log^2_4 x + 10\log^2_3 x \leqslant x\log_4 x \cdot \log_3 x^7\).

Показать решение

Через вершины \(M\) и \(K\) треугольника \(KLM\) проведена окружность, касающаяся прямых \(ML\) и \(KL\). На этой окружности выбрана точка \(S\) (внутри треугольника), лежащая на расстоянии \(\sqrt{2}\) от прямой \(MK\). Найдите расстояние от точки \(S\) до \(KL\), если известно, что \(\angle MKS = \angle KLS\) и \(\angle SKL = 60^{\circ}\).

Показать решение

Борис с друзьями решили устроить пикник. Для этого им от пункта А нужно добраться вверх по реке до пункта В, причем в их распоряжении есть два катера. Считая себя самым ответственным, Борис вызвался самостоятельно доехать до пункта В на более быстроходном катере и начать готовить место для пикника. Оба катера вышли одновременно из пункта А. Однако, промчавшись десять километров, Борис заметил на берегу машущего ему рукой Анатолия, который просил по старой дружбе довезти его до пункта С. И хоть пункт С Борис уже проехал, он согласился. По пути в пункт С Анатолий с Борисом встретили идущий навстречу второй катер с друзьями Бориса, откуда те крикнули, что пункт В уже совсем близко и чтобы Борис нигде не задерживался. Доставив Анатолия в пункт С, Борис немедленно помчался догонять друзей. Определите, какую долю пути оставалось пройти друзьям Бориса от момента встречи с ним и Анатолием, если известно, что оба катера пришли в пункт В одновременно, расстояние между пунктами В и С равно 2 км, скорости катеров постоянны, а Борис, действительно, нигде не задерживался.

Показать решение

Из вершины \(S\) на плоскость основания \(KLM\) пирамиды \(KLMS\) опущена высота \(SH\). Найдите объем этой пирамиды, если известно, что площади треугольников \(\Delta HLM\), \(\Delta HKM\), \(\Delta HKL\) равны соответственно \(\dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{3}, \dfrac{5}{12}\) и что все три плоских угла при вершине \(S\) прямые.

Показать решение

Решите систему уравнений \(\left\{ \begin{array}{l} \frac{x}{\sin(x^2 - y^2)} - y \cdot \mathop{\mathrm{ctg}}(x^2 - y^2) = \sqrt{\frac{5\pi}{6}} \, ,
\\ \frac{y}{\sin(x^2 - y^2)} - x \cdot \mathop{\mathrm{ctg}}(x^2 - y^2) = \sqrt{\frac{\pi}{2}} \, . \end{array} \right.\)

Показать решение

Какое из чисел \(\frac{49}{18}\) и \(\frac{79}{24}\) ближе к 3?

Показать решение

Найдите все значения параметра \(a\), при которых разность между корнями уравнения \(x^2 + 3ax + a^4 = 0\) максимальна.

Показать решение

Решите уравнение \(\sin 4x \cdot \cos 10x = \sin x \cdot \cos 7x\).

Показать решение

Решите неравенство \(\left( \sqrt{3} + \sqrt{2} \right)^{\log_{\sqrt{3} - \sqrt{2}} x} \geqslant \left( \sqrt{3} - \sqrt{2} \right)^{\log_ x (\sqrt{3} + \sqrt{2})}\).

Показать решение

Дана трапеция \(ABCD\) с основаниями \(AD\) и \(BC\). Пусть \(M\) – середина отрезка \(AD\), а \(N\) – произвольная точка отрезка \(BC\). Пусть \(K\) – пересечение отрезков \(CM\) и \(DN\), а \(L\) – пересечение отрезков \(MN\) и \(AC\). Найдите все возможные значения площади треугольника \(DMK\), если известно, что \(AD:BC = 3:2\), а площадь треугольника \(ABL\) равна 4.

Показать решение

Найдите все значения параметра \(a\), при которых система \( \left\{ \begin{array}{l} ax^2 + 4ax - 8y + 6a + 28 \leqslant 0 \\ ay^2 - 6ay - 8x + 11a - 12 \leqslant 0 \end{array} \right.\) имеет ровно одно решение.

Показать решение

Дан прямоугольный параллелепипед \(ABCDA^′B^′C^′D^′\) с боковыми ребрами \(AA^′\), \(BB^′\), \(CC^′\), \(DD^′\). На ребрах \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DA\) нижнего основания отмечены соответственно точки \(K\), \(L\), \(M\), \(N\) таким образом, что \(AK:KB = 4:5\), \(BL:LC = 3:1\), \(CM:MD = 7:2\), \(DN:NA = 3:1\). Пусть \(P\), \(Q\), \(R\) – центры сфер, описанных около тетраэдров \(AKNA^′\), \(BLKB^′\), \(CMLC^′\) соответственно. Найдите \(PQ\), если известно, что \(QR = 1\) и \(AB:BC = 3:2\).

Показать решение

Найдите все пары чисел \(x\) и \(y\) из промежутка \(\left(0, \frac{\pi}{2} \right)\), при которых достигается минимум выражения \[ \left( \frac{ \sqrt{3} \sin y }{ \sqrt{2} \sin(x + y) } + 1 \right) \left( \frac{ \sqrt{2} \sin x }{ 3 \sin y } + 1 \right)^2 \left( \frac{ \sin(x + y) }{ 7\sqrt{3} \sin x } + 1 \right)^4 .\]

Показать решение

Какое из чисел \(\frac{49}{32}\) и \(\frac{59}{24}\) ближе к 2?

Показать решение

Найдите все значения параметра \(p\), при которых разность между корнями уравнения \(x^2 + px + 3p^4 = 0\) максимальна.

Показать решение

Решите уравнение \(\cos 10x \cdot \cos 7x = \cos 4x \cdot \cos x\).

Показать решение

Решите неравенство \(\left( 2 + \sqrt{3} \right)^{\log_{2 - \sqrt{3}} x} \geqslant \left( 2 - \sqrt{3} \right)^{\log_x (2 + \sqrt{3})}\).

Показать решение

Дана трапеция \(ABCD\) с основаниями \(AD\) и \(BC\). Пусть \(M\) – середина отрезка \(AD\), а \(N\) – произвольная точка отрезка \(BC\). Пусть \(K\) – пересечение отрезков \(CM\) и \(DN\), а \(L\) – пересечение отрезков \(MN\) и \(AC\). Найдите все возможные значения площади треугольника \(ABL,\) если известно, что \(AD:BC = 5:2,\) а площадь треугольника \(DMK\) равна 5.

Показать решение

Найдите все значения параметра \(p\), при которых система \( \left\{ \begin{array}{l} px^2 + 6px - 12y + 11p + 18 \leqslant 0 \\ py^2 - 2py - 12x + 3p - 30 \leqslant 0 \end{array} \right.\) имеет ровно одно решение.

Показать решение

Дан \(\href{https://examp.info/onedef/pryamougolnyj-parallelepiped/}{\text{прямоугольный параллелепипед}}\) \(ABCDA'B'C'D'\) с боковыми ребрами \(AA'\), \(BB'\), \(CC'\), \(DD'\). На ребрах \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DA\) нижнего основания отмечены соответственно точки \(K\), \(L\), \(M\), \(N\) таким образом, что \(AK:KB = 7:9\), \(BL:LC = 2:1\), \(CM:MD = 3:1\), \(DN:NA = 2:1\). Пусть \(P\), \(Q\), \(R\) – центры сфер, описанных около тетраэдров \(AKNA'\), \(BLKB'\), \(CMLC'\) соответственно. Найдите \(PQ\), если известно, что \(QR = 1\) и \(AB:BC = 4:3\).

Показать решение

Найдите все пары чисел \(x\) и \(y\) из промежутка \(\left(0, \frac{\pi}{2} \right)\), при которых достигается минимум выражения \(\left( \frac{ \sqrt{5} \cos y }{ 2 \sin(x + y) } + 1 \right) \left( \frac{ 2 \cos x }{ 3 \cos y } + 1 \right)^2 \left( \frac{ \sin(x + y) }{ 7\sqrt{5} \cos x } + 1 \right)^4 .\)

Показать решение

Какое из чисел \(\dfrac{55}{21}\) и \(\dfrac{95}{28}\) ближе к \(3\)?

Показать решение

Найдите все значения параметра \(a\), при которых разность между корнями уравнения \(x^2 + 5ax + a^4 = 0\) максимальна.

Показать решение

Решите уравнение \(\sin 7x \cdot \cos 11x = \sin x \cdot \cos 5x\).

Показать решение

Решите неравенство \(\left( \sqrt{5} + 2 \right)^{\log_{\sqrt{5} - 2} x} \geqslant \left( \sqrt{5} - 2 \right)^{\log_ x (\sqrt{5} + 2)}\).

Показать решение

Дана трапеция \(ABCD\) с основаниями \(AD\) и \(BC\). Пусть \(M\) – середина отрезка \(AD\), а \(N\) – произвольная точка отрезка \(BC\). Пусть \(K\) – пересечение отрезков \(CM\) и \(DN\), а \(L\) – пересечение отрезков \(MN\) и \(AC\). Найдите все возможные значения площади треугольника \(DMK\), если известно, что \(AD:BC = 4:3\), а площадь треугольника \(ABL\) равна 3.

Показать решение

Найдите все значения параметра \(a\), при которых система \(\left\{ \begin{array}{l} ax^2 + 2ax + 8y + 3a - 36 \geqslant 0, \\ ay^2 - 8ay + 8x + 18a + 4 \geqslant 0 \end{array} \right.\) имеет ровно одно решение.

Показать решение

Дан прямоугольный параллелепипед \(ABCDA'B'C'D'\) с боковыми ребрами \(AA'\), \(BB'\), \(CC'\), \(DD'\). На ребрах \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DA\) нижнего основания отмечены соответственно точки \(K,\) \(L,\) \(M,\) \(N\) таким образом, что \(AK:KB = 5:4,\) \(BL:LC = 2:1,\) \(CM:MD = 2:1,\) \(DN:NA = 5:1.\) Пусть \(P\), \(Q\), \(R\) – центры сфер, описанных около тетраэдров \(AKNA',\) \(BLKB',\) \(CMLC'\), соответственно. Найдите \(QR\), если известно, что \(PQ = 1\) и \(AB:BC = 3:2.\)

Показать решение

Найдите все пары чисел \(x\) и \(y\) из промежутка \(\left(0, \dfrac{\pi}{2} \right),\) при которых достигается минимум выражения
\[\left( \dfrac{ \sqrt{6} \sin y }{ \sqrt{5} \sin(x + y) } + 1 \right) \left( \dfrac{ \sqrt{5} \sin x }{ 3 \sin y } + 1 \right)^2 \Biggl( \dfrac{ \sin(x + y) }{ 7\sqrt{6} \sin x } + 1 \Biggl)^4 .\]

Показать решение

Какое из чисел \(\frac{53}{36}\) и \(\frac{68}{27}\) ближе к \(2?\)

Показать решение

Найдите все значения параметра \(p\), при которых разность между корнями уравнения \(x^2 + px + 5p^4 = 0\) максимальна.

Показать решение

Решите уравнение \(\cos 12x \cdot \cos 5x = \cos 8x \cdot \cos x\).

Показать решение

Решите неравенство \(\left( \sqrt{6} + \sqrt{5} \right)^{\log_{\sqrt{6} - \sqrt{5}} x} \geqslant \left( \sqrt{6} - \sqrt{5} \right)^{\log_ x (\sqrt{6} + \sqrt{5})}.\)

Показать решение

Дана трапеция \(ABCD\) с основаниями \(AD\) и \(BC\). Пусть \(M\) – середина отрезка \(AD\), а \(N\) – произвольная точка отрезка \(BC\). Пусть \(K\) \(–\) пересечение отрезков \(CM\) и \(DN\), а \(L\) \(–\) пересечение отрезков \(MN\) и \(AC\). Найдите все возможные значения площади треугольника \(ABL,\) если известно, что \(AD:BC = 4:5\), а площадь треугольника \(DMK\) равна 2.

Показать решение

Найдите все значения параметра \(p\), при которых система \(\left\{ \begin{array}{l} px^2 + 8px + 12y + 18p - 30 \geqslant 0 \\ py^2 - 4py + 12x + 6p + 42 \geqslant 0 \end{array} \right.\) имеет ровно одно решение.

Показать решение

Дан прямоугольный параллелепипед \(ABCDA^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}\) с боковыми ребрами \(AA^{\prime}\), \(BB^{\prime}\), \(CC^{\prime}\), \(DD^{\prime}\). На ребрах \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DA\) нижнего основания отмечены соответственно точки \(K\), \(L\), \(M\), \(N\) таким образом, что \(AK:KB = 9:7\), \(BL:LC = 7:5\), \(CM:MD = 5:3\), \(DN:NA = 3:1\). Пусть \(P\), \(Q\), \(R\) – центры сфер, описанных около тетраэдров \(AKNA^{\prime}\), \(BLKB^{\prime}\), \(CMLC^{\prime}\) соответственно. Найдите \(QR,\) если известно, что \(PQ = 1\) и \(AB:BC = 4:3.\)

Показать решение

Найдите все пары чисел \(x\) и \(y\) из промежутка \(\left(0, \frac{\pi}{2} \right)\), при которых достигается минимум выражения \(\left( \frac{ \sqrt{7} \cos y }{ \sqrt{6} \sin(x + y) } + 1 \right) \left( \frac{ \sqrt{6} \cos x }{ 3 \cos y } + 1 \right)^2 \left( \frac{ \sin(x + y) }{ 7\sqrt{7} \cos x } + 1 \right)^4 .\)

Показать решение

Найдите на чертеже одну пару равных треугольников и запишите номера этих треугольников: \[ (1) \, \triangle OBD, (2)\, \triangle OAB, (3)\, \triangle ACB, (4)\, \triangle OAC, (5)\, \triangle OCD, (6)\, \triangle BCD.\]

Показать решение

Найдите в явном виде натуральное число, заданное выражением \(\left( \dfrac{25}{16}\right)^{ - \frac{1}{2}} + \dfrac{\log_3 (9^3)}{\sqrt {6} \cdot \sqrt {10} \cdot \sqrt {15} }.\)

Показать решение

Добрыня Никитич в полтора раза старше Алёши Поповича и в полтора раза младше Ильи Муромца. Сколько лет Добрыне Никитичу, если Илья Муромец старше Алёши Поповича на 20 лет?

Показать решение

Решите уравнение \(\sin x - \cos{2x} + \sin{3x} = 1\)

Показать решение

Решите неравенство: \(\log_2 x+\log_2 3\cdot\log_x 3+ \log_\sqrt{2} 3<0\)

Показать решение

В окружность вписан выпуклый восьмиугольник \(A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7A_8.\) Известно, что \(\angle A_1A_4A_7=\)\(\frac12 \angle A_4A_7A_2=\)\(\frac13\angle A_7A_2A_5=\)\(\frac14 \angle A_2A_5A_8=\)\(\frac15 \angle A_5A_8A_3=\)\(\frac16 \angle A_8A_3A_6=\frac17 \angle A_3A_6A_1\).
Найдите угол \(\angle A_6A_1A_4\).

Показать решение

Найдите наибольшее значение, которое может принимать выражение \(x + 7y\), если известно, что \(x\) и \(y\) удовлетворяют \[
\sqrt{xy} + \sqrt{(1 - x)(1 - y)} = \sqrt{7x(1 - y)} + \frac{\sqrt{y(1 - x)}}{\sqrt{7}}.
\]

Показать решение

Дана треугольная призма \(ABCA'B'C'\) с основаниями \(ABC, A'B'C'\) и боковыми рёбрами \(AA', BB', CC'.\) Через точки \(B, C\) проходит плоскость, делящая объём призмы пополам. Эта плоскость пересекает прямую \(AA'\) в точке \(D\). Найдите отношение \(AA':A'D.\)

Показать решение

Найдите все положительные значения параметра \(a\), при котором уравнение \(\log_{2-x} (a^{2+x}+2a^{1-x}+x-1) + \log_{2+x} (a^{2-x}+2a^{1+x}-x-1)=2\) имеет ровно одно решение (относительно \(x\) ).

Показать решение

Написать простейшую формулу n-го члена ряда по указанным членам: \[1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{9} + ...\]

Показать решение

Написать простейшую формулу n-го члена ряда по указанным членам:
\[\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{{12}} + \frac{1}{{30}} + \frac{1}{{42}} + ...\]

Показать решение

Написать простейшую формулу n-го члена ряда по указанным членам: \(1 - 1 + 1 - 1 + \ldots + {( - 1)^n} + \ldots\)

Показать решение

Найдите все положительные значения параметра \(a\), при котором уравнение \(\log_{2-x} (a^{2+x}+2a^{1-x}+x-1) + \log_{2+x} (a^{2-x}+2a^{1+x}-x-1)=2\) имеет ровно одно решение (относительно \(x\) ).

Показать решение

Исследовать сходимость ряда, применяя признаки сравнения: \(\frac{1}{{11}} + \frac{1}{{21}} + \frac{1}{{31}} + \ldots + \frac{1}{{10n - 1}} + \ldots\)

Показать решение

Исследовать сходимость ряда \(\frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{3}{2} + \frac{5}{{2\sqrt 2 }} + \ldots + \frac{{2n - 1}}{{{{(\sqrt 2 )}^n}}} + \ldots\)

Показать решение

Исследовать сходимость ряда \(\frac{2}{1} + {\left( {\frac{3}{3}} \right)^2} + {\left( {\frac{4}{5}} \right)^2} + \ldots + {\left( {\frac{{n + 1}}{{2n - 1}}} \right)^n} + \ldots\)

Показать решение

Исследовать сходимость знакоположительного ряда: \(1 + \frac{1}{{2!}} + \frac{1}{{3!}} + + \frac{1}{{n!}} + \ldots\)

Показать решение

Решите неравенство \(\log_5 ((3-x)(x^2+2))\geqslant \log_5(x^2-7x+12)+\log_5(5-x)\).

Показать решение

Решите неравенство \( x^2\cdot \log_{625} (3-x) \leqslant \log_5 (x^2-6x+9) \).

Показать решение

Решите неравенство \( \log_2 (x-1)(x^2+2)\leqslant 1 + \log_2 (x^2+3x-4) - \log_2 x \).

Показать решение

Решите неравенство \(27\cdot 45^x-27^{x+1}-12\cdot 15^x+12\cdot 9^x+5^x-3^x \leqslant 0.\)

Показать решение

Решите неравенство \(\dfrac{9^x+2\cdot 3^x-117}{3^x-27}\leqslant 1.\)

Показать решение

Решите неравенство \(\log_4(6-6x) > \log_4 (x^2-5x+4)+\log_4(x+3).\)

Показать решение

Решите неравенство \(\log_2 (x-1)(x^2+2)\leqslant 1 + \log_2(x^2+3x-4) - \log_2 x.\)

Показать решение

Найдите в явном виде натуральное число, заданное выражением \(\sqrt {\dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{6} - \dfrac{2}{9}} \cdot\log_{4}64\cdot\log_{8}64\).

Показать решение

В треугольнике \(ABC\) высоты \(AA_1\) и \(CC_1\) пересекаются в точке \(H\). Обозначим основания биссектрис треугольников \(AC_1H\) и \(CA_1H\), проведённых из точки \(H\), через \(P\) и \(Q\) соответственно. Наконец, через \(M\) обозначим середину стороны \(AC\). Докажите, что перпендикуляры, восстановленные в точках \(P\) и \(Q\) к сторонам треугольника \(ABC\), на которых они лежат, пересекаются на отрезке \(MH\).

Показать решение

Исследовать сходимость знакоположительного ряда: \(\sum\limits_{n = 2}^\infty {\dfrac{1}{{n\ln n}}}.\)

Показать решение

Исследовать сходимость знакоположительного ряда: \(\sum\limits_{n = 2}^\infty \ln(1 + \frac{1}{n}).\)

Показать решение

Исследовать сходимость знакоположительного ряда:\(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\ln (1 + \frac{1}{n})}.\)

Показать решение

Найдите все положительные значения параметра \(a\), при котором уравнение \(\log_{2-x} (a^{2+x}+2a^{1-x}+x-1) +\)\(\log_{2+x} (a^{2-x}+2a^{1+x}-x-1)=2\) имеет ровно одно решение (относительно \(x\) ).

Показать решение

Найдите в явном виде натуральное число, заданное выражением \(\left(\dfrac{2\mathop{\mathrm{tg}}\dfrac{\pi}{4}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}-\dfrac{2\mathop{\mathrm{ctg}}\dfrac{\pi}{4}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}\right)^2\).

Показать решение

Студент Савелий взбегает вверх по неподвижному эскалатору за 30 секунд, а по движущемуся (вверх же) – за 20 секунд. За сколько секунд Савелий поднялся бы по движущемуся эскалатору, если бы нашел в себе силы стоять на месте? (Собственную скорость бегущего Савелия считать постоянной).

Показать решение

Решите уравнение \(2 \sqrt{2}+\sqrt{2}\sin 2x = \sqrt{3}(\cos x - \sin x)\).

Показать решение

В четырёхугольник \(ABCD\) площади 2 вписана окружность, касающаяся сторон \(AB\) и \(CD\) в точках \(K\) и \(L\) соответственно. Отрезок \(KL\) пересекает диагональ \(AC\) в точке \(M\). Найдите \(BD\), если известно, что \(AM=MC=1.\)

Показать решение

Найдите в явном виде натуральное число, заданное выражением \(\left( {\dfrac{{3\sin \dfrac{\pi }{2}}}{{{{\log }_2}16}} - \sqrt{\dfrac{4}{9}} } \right)^{ - 1}.\)

Показать решение

Исследовать сходимость знакопеременного ряда: \( - \frac{1}{2} - \frac{2}{4} + \frac{3}{8} + \frac{4}{{16}} - \ldots + {( - 1)^{\frac{{{n^2} + n}}{2}}} \cdot \frac{n}{{{2^n}}} + \ldots\)

Показать решение

Исследовать сходимость знакопеременного ряда: \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{{( - 1)}^n}{{\left( {\frac{{2n + 1}}{{3n + 1}}} \right)}^n}} .\)

Показать решение

Биссектриса угла \(A\) параллелограмма \(ABCD\) пересекает диагональ\(BD\) в точках \(K\) и \(L\) соответственно. Найдите прощать треугольника \(DKL\), если известно, что площадь параллелограмма равна 8 и \(AD = 3 \cdot AB.\)

Показать решение

Дан квадрат \(ABCD\). Точки \(K\), \(P\) и \(M\) лежат на сторонах \(AB\), \(BC\) и \(CD\) соответственно. Четырёхугольник \(AKPM\) – трапеция, диагонали которой \(AP\) и \(KM\) перпендикулярны друг другу. Найдите основания трапеции \(KP\) и \(AM\), если \(AK=5\) и \(MD=2\).

Показать решение

Бобёр доплывает от своей норы вниз по реке до осиновой рощи за три минуты. Подкрепившись, он плывёт обратно к своей норе, на что у него уходит четыре минуты. Во сколько раз собственная скорость бобра превышает скорость течения? (Собственную скорость бобра считать постоянной).

Показать решение

Решите уравнение \(\cos 4x + \cos 2x + \mathop{\mathrm{ctg}}^2 x = 0.\)

Показать решение

Решите неравенство \(6^{x^2} + 6^{2x} \leqslant 2^{x^2 + 2x} + 3^{x^2 + 2x}.\)

Показать решение

Найдите наибольшее пятизначное число, которое в \(51\) раз больше квадрата суммы своих цифр. Решение обоснуйте.

Показать решение

Применяя почленное дифференцирование и интегрирование, найти сумму ряда:
\[{\quad 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3x + 3 \cdot 4{x^2} + \ldots + n(n + 1){x^{n - 1}} + }\]

Показать решение

Решите неравенство \(\log_{2} x + \log_{3} x \leqslant \log_{2} 3 \cdot \log_{x} 6.\)

Показать решение

Найдите все значения параметра а, при которыx уравнение \(\left(\sqrt{3 + 2x - x^2} - \sqrt{3 - 2x - x^2}\right) \left(\sqrt{a - x^2} - \sqrt{3 - 2x - x^2}\right)\left(\sqrt{a - x^2} - \sqrt{3 + 2x - x^2}\right) = 0\) имеет ровно одно решение.

Показать решение

Применяя почленное дифференцирование и интегрирование, найти сумму ряда: \(x+\dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{x^{3}}{3}+\cdots+\dfrac{x^{2}}{n}+\ldots \)

Показать решение

2573. Доказать равномерную сходимость функциональных рядов в указанных промежутках:
\[\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{x^2}}}{{{n^2}}}} ;\quad x \in [ - 1,1] \]

Показать решение

2582. Применяя почленное дифференцирование и интегрирование, найти сумму ряда:
\[{\quad 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3x + 3 \cdot 4{x^2} + \ldots + n(n + 1){x^{n - 1}} + }\]

Показать решение

На сторонах \(AB\) и \(AC\) треугольника \(ABC\) отмечены точки \(K\) и \(L\) соответственно. Известно, что \(AB = BC = 1,\) что площади треугольников \(AKC\) и \(BCL\) равны и что около четырёхугольника \(AKML,\) где \(M\quad -\quad\) точка пересечения отрезков \(BL\) и \(CK,\) можно описать окружность. Найдите все возможные значения \(AC.\)

Показать решение

а) Решите уравнение \(4\sin ^3 x + 4\sqrt{3}\cos^2 x + 3\sin x = 4\sqrt{3}\). б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[ {\pi ;\frac{{5\pi }}{2}} \right]\).

Показать решение

а) Решите уравнение \(\sin 2x = \sqrt{2} \cos \left( {x - \frac{\pi }{2}} \right)\). б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[ { - \frac{{7\pi }}{2}; - 2\pi } \right]\).

Показать решение