Решите неравенство \(\left( 2 + \sqrt{3} \right)^{\log_{2 - \sqrt{3}} x} \geqslant \left( 2 - \sqrt{3} \right)^{\log_x (2 + \sqrt{3})}\).

Решение

Заметим, что \(\left(2 +\sqrt{\mathstrut3}\right)\left(2 -\sqrt{\mathstrut3}\right) = 1 \Rightarrow \left(2 +\sqrt{\mathstrut3}\right) = \dfrac{1}{\left(2 -\sqrt{\mathstrut3}\right)}\).

Найдём область определения неравенства: \(x>0, x\neq 1\).
С условием замечания мы можем переписать неравенство в виде:
\[\left(2 +\sqrt{\mathstrut3}\right)^{\log_{2 - \sqrt{3}} x} \geqslant \left(2 +\sqrt{\mathstrut3}\right)^{-\log_x (2 + \sqrt{3})}.\]

Так как основание \(2 +\sqrt{\mathstrut3}\) \(\href{https://examp.info/onedef/pokazatelnaya-funkciya/}{\text{показательной функции}}\) больше \(1\), то можем перейти к неравенству :
\[\log_{2 - \sqrt{3}} x \geqslant -\log_x (2 + \sqrt{3}).\]

Положим \(t =\log_{2 - \sqrt{3}} x\). \(\href{https://examp.info/theorem/logarifma/}{\text{По свойствам логарифма}}\):
\[\dfrac{1}{t} =\log_{x} (2 - \sqrt{3}) = - \log_{x} (2 + \sqrt{3}).\]
Получили неравенство:
\begin{gather*}
t\geqslant\dfrac{1}{t} \Leftrightarrow \ \\
\Leftrightarrow \dfrac{t^2-1}{t}\geqslant 0\Leftrightarrow \ \\
\Leftrightarrow \dfrac{(t-1)(t+1)}{t} \geqslant 0 \Leftrightarrow \ \\ \Leftrightarrow t\in[-1,0)\cup [1,+\infty) (\href{https://examp.info/theorem/intervalov/}{\text{по методу интервалов}}).
\end{gather*}

Делаем обратную замену и получаем:
\[
\left[
\begin{array}{l}
-1\leqslant \log_{2 - \sqrt{3}} x < 0,\\
1\leqslant \log_{2 - \sqrt{3}} x.
\end{array}
\right.\]

Так как \(2 - \sqrt{3}\) меньше \(1\), то \(\log_{2 - \sqrt{3}} x\) \(-\) убывающая, поэтому получаем:
\[ \left[
\begin{array}{l}
1\le x \leqslant \left(2-\sqrt{3}\right)^{-1},\\
x\leqslant 2 - \sqrt{3}.
\end{array}
\right.\Leftrightarrow\]
\[\Leftrightarrow
\left[
\begin{array}{l}
1 \le x \leqslant \left(2+\sqrt{3}\right),\\
x\leqslant 2-\sqrt{3}.
\end{array}
\right.\]
С учётом О.О.Н. получим, что \(x\in(0, 2 - \sqrt{3}] \cup (1, 2 + \sqrt{3}]\).

Ответ: \((0, 2 - \sqrt{3}] \cup (1, 2 + \sqrt{3}]\).