Решите уравнение \(\cos 10x \cdot \cos 7x = \cos 4x \cdot \cos x\).

Решение

Воспользуемся формулой произведения косинусов:
\[\cos \alpha \cdot \cos \beta = \dfrac{1}{2}\cdot\cos \left(\alpha+\beta\right)+\dfrac{1}{2}\cdot\cos \left(\alpha-\beta\right).\]
Получаем:
\begin{gather*}
\cos 10x \cdot \cos 7x = \dfrac{1}{2}\cdot\cos\left(17x\right) +\dfrac{1}{2}\cdot\cos 3x, \ \\
\cos 4x \cdot \cos x =\dfrac{1}{2}\cdot\cos \left(5x\right) +\dfrac{1}{2}\cdot \cos3x. \ \\
\end{gather*}
Тогда уравнение примет вид \(\cos 17x = \cos 5x \Leftrightarrow \cos 17x - \cos 5x = 0\).

По формуле разности косинусов:
\[\cos \alpha-\cos \beta = -2\cdot \sin\left(\dfrac{\left(\alpha+\beta\right)}{2}\right)\cdot\sin\left(\dfrac{\left(\alpha-\beta\right)}{2}\right),\] получим, что:
\begin{gather*}
-2\cdot\sin\left(\dfrac{17x+5x}{2}\right)\cdot\sin\left(\dfrac{17x-5x}{2}\right)=0 \Leftrightarrow \ \\
\Leftrightarrow \left[
\begin{gathered}
\sin11x=0, \\
\sin 6x =0.
\end{gathered}
\right.\Leftrightarrow \ \\
\Leftrightarrow \left[
\begin{gathered}
6x=\pi n,\quad n\in \mathbb{Z},\ \\
11x=\pi k,\quad k\in \mathbb{Z}.\ \\
\end{gathered}
\right.\Leftrightarrow \ \\
\Leftrightarrow \left[
\begin{gathered}
x=\dfrac{\pi n}{6},\quad n\in \mathbb{Z},\ \\
x=\dfrac{\pi k}{11},\quad k\in \mathbb{Z}.\ \\
\end{gathered}
\right.
\end{gather*}

Ответ: \(\frac{\pi k}{6}, \ \frac{\pi k}{11}, \ k \in \mathbb{Z}\).