В окружность вписан выпуклый восьмиугольник \(A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7A_8.\) Известно, что \(\angle A_1A_4A_7=\)\(\frac12 \angle A_4A_7A_2=\)\(\frac13\angle A_7A_2A_5=\)\(\frac14 \angle A_2A_5A_8=\)\(\frac15 \angle A_5A_8A_3=\)\(\frac16 \angle A_8A_3A_6=\frac17 \angle A_3A_6A_1\).
Найдите угол \(\angle A_6A_1A_4\).

Решение

Пусть \(\angle A_1A_4A_7 = \alpha\),
тогда \(\angle A_4A_7A_2 = 2\alpha\),
\(\angle A_7A_2A_5 = 3\alpha,\)
\(\angle A_2A_5A_8 = 4\alpha,\)
\(\angle A_5A_8A_3 = 5\alpha,\)
\(\angle A_8A_3A_6 = 6\alpha,\)
\(\angle A_3A_6A_1 = 7\alpha.\)

Также пусть \(\angle A_6A_1A_4 = \beta.\)
\[\cup {A_1A_2} +\cup {A_2A_3}=14\alpha,\\
\cup {A_2A_3} +\cup {A_3A_4}=4\alpha, \\
\cup {A_3A_4} +\cup {A_4A_5}=10\alpha, \\
\cup {A_4A_5} +\cup {A_5A_6}=2\beta, \\
\cup {A_5A_6} +\cup {A_6A_7}=6\alpha, \\
\cup {A_6A_7} +\cup {A_7A_8}=12\alpha, \\
\cup {A_7A_8} +\cup {A_8A_1}=2\alpha, \\
\cup {A_8A_1} +\cup {A_1A_2}=8\alpha.\]

Сумма всех дуг – это \(360^{\circ},\) поэтому:
\(14\alpha+4\alpha+10\alpha+2\beta+6\alpha+12\alpha+2\alpha+8\alpha=56\alpha+2\beta=720^{\circ}\), откуда \(\beta=360^{\circ}-28\alpha.\) \(2\beta=\cup {A_4A_5} +\cup {A_5A_6}\)\(\cup {A_3A_4} +\cup {A_4A_5}+\cup {A_5A_6} +\cup {A_6A_7}=16\alpha\), следовательно \(2\beta+4\alpha- \cup {A_2A_3}+12\alpha-\cup {A_7A_8}=16\alpha\). Откуда \(2\beta-\cup {A_2A_3}-\cup {A_7A_8}=0\). Значит \(2\beta=14\alpha-\cup {A_1A_2}+2\alpha-\cup {A_8A_1}=8\alpha.\) Поэтому \(360^{\circ}-28\alpha=4\alpha.\) Откуда \(\beta=4\alpha=45^{\circ}\)

Ответ: \(45^\circ\).