Решите неравенство \(\left( \sqrt{3} + \sqrt{2} \right)^{\log_{\sqrt{3} - \sqrt{2}} x} \geqslant \left( \sqrt{3} - \sqrt{2} \right)^{\log_ x (\sqrt{3} + \sqrt{2})}\).

Решение

Заметим, что \(\left(\sqrt{\mathstrut3} +\sqrt{\mathstrut2}\right)\left(\sqrt{\mathstrut3} -\sqrt{\mathstrut2}\right) = 1 \Rightarrow \left(\sqrt{\mathstrut3} +\sqrt{\mathstrut2}\right) = \dfrac{1}{\left(\sqrt{\mathstrut3} -\sqrt{\mathstrut2}\right)}\).

Найдём область определения неравенства: \(x>0, x\neq 1\).
С условием замечания мы можем переписать неравенство в виде \(\left( \sqrt{3} + \sqrt{2} \right)^{\log_{\sqrt{3} - \sqrt{2}} x} \geqslant \left( \sqrt{3} + \sqrt{2} \right)^{-\log_ x (\sqrt{3} + \sqrt{2})}\)
Так как основание \(\sqrt{3} + \sqrt{2}\) показательной функции больше \(1\), то можем перейти к неравенству
\[\log_{\sqrt{3} - \sqrt{2}} x \geqslant - \log_{x} (\sqrt{3} + \sqrt{2})\]
Положим \(t =\log_{\sqrt{3} - \sqrt{2}} x\). По свойствам логарифма
\[\dfrac{1}{t} =\log_{x} (\sqrt{3} - \sqrt{2}) = - \log_{x} (\sqrt{3} + \sqrt{2})\].

Получили неравенство \(t\geqslant\dfrac{1}{t} \Leftrightarrow \dfrac{t^2-1}{t}\geqslant 0\Leftrightarrow \dfrac{(t-1)(t+1)}{t} \geqslant 0 \Leftrightarrow t\in[-1,0)\cup [1,+\infty)\).
Делаем обратную замену и получаем:
\[
\left[
\begin{gathered}
-1\leqslant \log_{\sqrt{3} - \sqrt{2}} x < 0\\
1\leqslant \log_{\sqrt{3} - \sqrt{2}} x.
\end{gathered}
\right.\]
Так как \(\sqrt{3} - \sqrt{2}\) меньше \(1\), то \(\log_{\sqrt{3} - \sqrt{2}} x\) \(-\) убывающая функция, поэтому получаем
\[ \left[
\begin{gathered}
1\le x\le\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^{-1}\\
x\le\sqrt{3}-\sqrt{2}.
\end{gathered}
\right. \Leftrightarrow
\left[
\begin{gathered}
1 \leq x \leq \left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\\
x \leq \sqrt{3}-\sqrt{2}.
\end{gathered}
\right.\]
С учётом области определения получим, что \(x\in(0, \sqrt{3} - \sqrt{2}] \cup (1, \sqrt{3} + \sqrt{2}]\).

Ответ: \((0, \sqrt{3} - \sqrt{2}] \cup (1, \sqrt{3} + \sqrt{2}]\).