Решите неравенство: \(\log_2 x+\log_2 3\cdot\log_x 3+ \log_\sqrt{2} 3<0\)

Решение

\[\log_2 x+\log_2 3\cdot\log_x 3+ \log_\sqrt{2} 3<0 \Leftrightarrow \frac{\log^2_2 x+\log^2_2 3+2\log_2 3\cdot \log_2 x }{\log_2 x}<0 \Leftrightarrow \frac{(\log_2 x+\log_2 3)^2}{\log_2 x}<0.\] ОДЗ: \(x > 0\).
Числитель всегда больше или равен нулю, значит неравенство будет верным, если числитель не равен нулю, а знаменатель меньше нуля.
Числитель равен нулю при: \(\log_2 x = - \log_2 3 \Leftrightarrow x = \frac{1}{3} \)
Знаменатель меньше нуля при: \(\log_2 x < 0 \Leftrightarrow x < 1\).
Значит \(x \in (0; \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}; 1)\) и будет решением неравенства.

Ответ: \(x\in(0;\frac{1}{3})\cup(\frac{1}{3};1)\).