Из вершины \(S\) на плоскость основания \(KLM\) пирамиды \(KLMS\) опущена высота \(SH\). Найдите объем этой пирамиды, если известно, что площади треугольников \(\Delta HLM\), \(\Delta HKM\), \(\Delta HKL\) равны соответственно \(\dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{3}, \dfrac{5}{12}\) и что все три плоских угла при вершине \(S\) прямые.

Решение

Обозначим через \(\alpha, \beta, \gamma\) \(\href{https://examp.info/onedef/dvugrannyj-ugol/}{ \text{двугранные углы}}\) при рёбрах \(LM, KM, KL\) соответственно. Поскольку \(SH\bot KLM,\ \Delta HLM\) является \(\href{https://examp.info/onedef/ortogonalnaya-proekciya/}{ \text{ортогональной проекцией}}\) \(\Delta SLM\). Следовательно, \(\dfrac{S(\Delta HLM)}{S(\Delta SLM)}=\cos\alpha\), по \(\href{https://examp.info/theorem/o-svyazi-ploshadi-secheniya-i-ploshadi-proekcii/}{ \text{теореме о связи площади сечения и площади проекции}}\). С другой стороны, \(KS \bot SLM\), то есть \(\Delta SLM\) является \(\href{https://examp.info/onedef/ortogonalnaya-proekciya/}{ \text{ортогональной проекцией}}\) \(\Delta KLM\), откуда \(\dfrac{S(\Delta SLM)}{S(\Delta KLM)}=\cos\alpha\), по той же \(\href{https://examp.info/theorem/o-svyazi-ploshadi-secheniya-i-ploshadi-proekcii/}{теореме}\). Учитывая, что \(S(\Delta KLM)=S(\Delta HLM)+S(\Delta HKM)+S(\Delta HKL)=1,\) получаем
\[\cos\alpha=S(\Delta SLM)=\dfrac{S(\Delta HLM)}{S(\Delta SLM)}=\sqrt{S(\Delta HLM)}.\]
Аналогично,
\[\cos\beta=S(\Delta SKM)=\sqrt{S(\Delta HKM)},\]
\[\cos\gamma=S(\Delta SKL)=\sqrt{S(\Delta HKL)}.\]
Далее, поскольку плоские углы при вершине \(S\) прямые, объём \(KLMS\) составляет \(\dfrac{1}{6}\) объёма прямоугольного параллелепипеда с такими же сторонами, тогда:
\[\text{V}(KLMS)=\dfrac 16 \cdot KS\cdot LS\cdot MS = \dfrac{\sqrt{2}}{3}\cdot\sqrt{\dfrac{LS\cdot MS}{2}\cdot \dfrac{KS\cdot MS}{2}\cdot \dfrac{KS\cdot LS}{2}}=\]\[=\dfrac{\sqrt 2}{3}\cdot\sqrt{S(\Delta SLM)\cdot S(\Delta SKM) \cdot S(\Delta SKL)}=\dfrac{\sqrt 2}{3}\cdot\sqrt[4]{S(\Delta HLM\cdot S(\Delta HKM) \cdot S(\Delta HKL)}=\]\[=\dfrac{\sqrt 2}{3}\cdot\sqrt[4]{\dfrac 14 \cdot \dfrac 13 \cdot\dfrac {5}{12}}=\dfrac{\sqrt[4]{5}}{3\sqrt{6}}.\]

Ответ: \(\frac{\sqrt[4]{5}}{3\sqrt{6}}\).