Биссектриса угла \(A\) параллелограмма \(ABCD\) пересекает диагональ\(BD\) в точках \(K\) и \(L\) соответственно. Найдите прощать треугольника \(DKL\), если известно, что площадь параллелограмма равна 8 и \(AD = 3 \cdot AB.\)

Решение

Поскольку \(BC\) параллельно \(AD\), то \(\angle LAD = \angle ALB\) \(\href{https://examp.info/theorem/nakrest-lezhashie-ugly/}{\text{ как накрест лежащие}}\), следовательно \(\angle BAL = \angle ALB\) и треугольник \(ABL\) равнобедренный с основанием \(AL\), тем самым \(AB = BL\). Далее \(\href{https://examp.info/theorem/priznaki-podobiya-treugolnikov/}{\text{треугольник \(BKL\) подобен \(AKD\)}}\), так как \(\angle LAD = \angle ALB\) и \(\angle BKL = \angle AKD\) как вертикальные углы. Коэффициент подобия равен 3, так как \(BL = AB = \frac{AD}{3}\), тогда \(\frac{KH_2}{KH_1} = \frac{1}{3}\), как соответствующие высоты треугольников, пусть h - высота параллелограмма, следовательно \(KH_2 = \frac{1}{4}h, KH_1 = \frac{3}{4}h\) и \(h*AD = 8\) - площадь параллелограмма. Тогда площадь \(BKL\) равна \(\frac{1}{2}KH_2BL = \frac{1}{2}\frac{1}{4}h\frac{1}{3}AB = \frac{8}{24} = \frac{1}{3}\)

Ответ: \(\frac{1}{3}\).