Найдите все значения параметра \(a\), при которых разность между корнями уравнения \(x^2 + 3ax + a^4 = 0\) максимальна.

Решение

1. Находим дискриминант и условия существования корней. Для квадратного уравнения \(x^2 + 3ax + a^4 = 0\) дискриминант:
\[
D = (3a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot a^4 = 9a^2 - 4a^4
\]

Для существования двух различных действительных корней необходимо \(D > 0\):
\[
9a^2 - 4a^4 > 0 \quad \Rightarrow \quad a^2(9 - 4a^2) > 0
\]

Поскольку \(a^2 \geqslant 0\), это требует \(a^2 \neq 0\) (т.е. \(a \neq 0\)) и \(9 - 4a^2 > 0\):
\[
9 > 4a^2 \quad \Rightarrow \quad a^2 < \frac{9}{4}
\]

Таким образом, корни существуют при:
\[
0 < a^2 < \frac{9}{4}
\]

2. Вычисляем разность между корнями

Разность между корнями квадратного уравнения \(x_1\) и \(x_2\) равна:
\[
|x_1 - x_2| = \frac{\sqrt{D}}{|A|} = \sqrt{9a^2 - 4a^4}
\]

Мы хотим максимизировать это выражение. Так как квадратный корень — возрастающая функция, достаточно максимизировать подкоренное выражение:
\[
f(a) = 9a^2 - 4a^4
\]

3. Ищем максимум подкоренного выражения

Сделаем замену \(t = a^2\). Из условия существования корней мы знаем, что:
\[
0 < t < \frac{9}{4}
\]

Функция для максимизации принимает вид:
\[
g(t) = 9t - 4t^2
\]

Это квадратная функция (парабола) с ветвями, направленными вниз (коэффициент при \(t^2\) отрицательный: \(-4 < 0\)). Максимум такой функции достигается в вершине параболы.

Координата вершины:
\[
t_v = -\frac{B}{2A} = -\frac{9}{2 \cdot (-4)} = \frac{9}{8}
\]

4. Проверяем условие и находим \(a\)

Значение \(t_v = \frac{9}{8}\) находится в допустимом интервале:
\[
0 < \frac{9}{8} < \frac{9}{4}
\]

Следовательно, максимум достигается при \(t = \frac{9}{8}\). Возвращаемся к переменной \(a\):
\[
a^2 = \frac{9}{8} \quad \Rightarrow \quad a = \pm \sqrt{\frac{9}{8}} = \pm \frac{3}{2\sqrt{2}}
\]

Умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{2}\):
\[
a = \pm \frac{3\sqrt{2}}{2 \cdot 2} = \pm \frac{3\sqrt{2}}{4}
\]

Ответ: \(a = \pm \dfrac{3\sqrt{2}}{4}\).