Через вершины \(A\) и \(C\) треугольника \(ABC\) проведена окружность, касающаяся прямых \(AB\) и \(BC\). На этой окружности выбрана точка \(D\) (внутри треугольника), лежащая на расстоянии \(1\) от прямой \(AC\) и на расстоянии \(\sqrt{7}\) от прямой \(AB\). Найдите угол \(\angle DAB\), если известно, что \(\angle CAD = \angle ABD\).

Решение

Положим \(\angle C A D(=\angle A B D)=\alpha, \angle D A B=\beta.\) Поскольку угол \(D C A\) опирается на дугу \(D A,\) а \(A B\) — касательная, справедливо \(\angle D C A=\angle D A B=\beta\). Аналогично, \(\angle B C D=\angle C A D=\alpha.\) Тогда из \(\href{https://examp.info/theorem/teorema-sinusov/}{\text{теоремы синусов}}\), примененной к треугольнику \(A B C,\) следует, что\[
\dfrac{C A}{A B}=\dfrac{\sin (\pi-2 \alpha-2 \beta)}{\sin (\alpha+\beta)}=2 \cos (\alpha+\beta)
\]
То же самое можно было бы получить, опустив перпендикуляр из \(B\) на \(A C,\) поскольку \(B C=A B\) как касательные.
С другой стороны, треугольники \(C A D\) и \(A B D\) подобны (в силу равенства соответствующих углов), откуда\[
\dfrac{A C}{AB}=\dfrac{D E}{D F}=\dfrac{D E}{D A} \cdot \dfrac{D A}{D F}=\dfrac{\sin \alpha}{\sin \beta}
\]
где \(D E\) и \(D F\) — перпендикуляры, опущенные из \(D\) на \(A C\) и \(A B\) соответственно.
Получаем\[
2 \cos (\alpha+\beta)=\dfrac{\sin \alpha}{\sin \beta}
\]
откуда\[
\cos \alpha \sin 2 \beta-\sin \alpha\left(2 \sin ^{2} \beta+1\right)=0
\]
и\[
\operatorname{tg} \alpha=\dfrac{\sin 2 \beta}{2-\cos 2 \beta}
\]
Поскольку и \(\alpha,\) и \(\beta\) ограничены \(\pi / 2,\) выражая \(\operatorname{tg} \alpha\) через \(\sin \alpha,\) получаем\[
\sin \alpha=\dfrac{\sin 2 \beta}{\sqrt{(2-\cos 2 \beta)^{2}+\sin ^{2} 2 \beta}}=\dfrac{\sin 2 \beta}{\sqrt{5-4 \cos 2 \beta}}=\dfrac{\sin 2 \beta}{\sqrt{9-8 \cos ^{2} \beta}} .
\]
Вспоминая, что \(D E / D F=\sin (\alpha) / \sin (\beta),\) получаем\[
\dfrac{D E}{D F}=\dfrac{2 \cos \beta}{\sqrt{9-8 \cos ^{2} \beta}}
\]
По условию \(D E / D F= 1 / \sqrt{7}.\) Следовательно, \(\cos ^{2} \beta=1 / 4\) и, стало быть, \(\beta=\pi / 3.\)

Ответ: \(\pi / 3\).