Исследовать сходимость знакопеременного ряда: \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{{( - 1)}^n}{{\left( {\frac{{2n + 1}}{{3n + 1}}} \right)}^n}} .\)

Решение

\[\begin{array}{l}
{a_n} = {( - 1)^n}{\left( {\frac{{2n + 1}}{{3n + 1}}} \right)^n}\\
|{a_n}| = {\left( {\frac{{2n + 1}}{{3n + 1}}} \right)^n};\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{{{{\left( {\frac{{2n + 1}}{{3n + 1}}} \right)}^n}}} = \frac{2}{3} \Rightarrow
\end{array} \text{Так как } \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{{{{|\left( {{a_n}} \right)}|}}} < 1 \text{, то по признаку Коши ряд сходится абсолютно}\]

Ответ: Ряд сходится абсолютно.