Решите уравнение \(\cos 8x - \cos 9x = \sin x\).

Решение

\[\cos 8x -\cos 9x = \sin x \Leftrightarrow
2\sin\dfrac{17x}{2}\sin\dfrac {x}{2} = 2\sin\dfrac {x}{2} \cos\dfrac {x}{2}
\Leftrightarrow
\sin \dfrac x2 \cdot \left(\sin\dfrac{17x}{2}\ -\cos \dfrac {x}{2}\right)=0
\Leftrightarrow \]
\[
\Leftrightarrow
\sin \dfrac x2 \cdot \left(\sin\dfrac{17x}{2}\ -\sin {\left( \dfrac {x}{2} + \dfrac{\pi}{2} \right)}\right)=0
\Leftrightarrow
\left[ \begin{array}{l}
\dfrac {x}{2} = k\pi\\
\dfrac{17x}{2}=\dfrac {x}{2} + \dfrac{\pi}{2} +2k\pi \\
\dfrac{17x}{2}=\ - \dfrac {x}{2} - \dfrac{\pi}{2} + (2k+1)\pi \end{array} \right. , \quad k \in \mathbb Z \Leftrightarrow \]
\[ \Leftrightarrow
\left[ \begin{array}{l}
x = 2k\pi\\
8x= \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi \\
9x= \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi \end{array} \right. ,
\quad k \in \mathbb Z
\Leftrightarrow
\left[ \begin{array}{l}
x = 2k\pi\\
x= \dfrac{\left(1 + 4k \right)\pi}{16} \\
x= \dfrac{\left(1 + 4k \right)\pi}{18} \end{array} \right. ,
\quad k \in \mathbb Z.\]

Ответ: \(2\pi k, \dfrac{(1 + 4k)\pi}{18}, \ \dfrac{(1 + 4k)\pi}{16}, \quad k \in \mathbb{Z}\).