Применяя почленное дифференцирование и интегрирование, найти сумму ряда: \(x+\dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{x^{3}}{3}+\cdots+\dfrac{x^{2}}{n}+\ldots \)

Решение

\begin{array}{l}
\quad x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}+\cdots+\frac{x^{2}}{n}+\ldots=-\ln |1-x|+C\\
S^{\prime}(x)=1+x+x^{2}+\ldots+x^{k-1}+\ldots=\frac{1}{1-x} ; x \in(-1,1)\\
S(x)=\int \frac{d x}{1-x}=-\ln |1-x|+C\\
\text { When } x=0, \quad C=0\\
x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}+\cdots+\frac{x^{2}}{2}+\ldots=-\ln |1-x|\\
\end{array}

Ответ: \[ \ln |1-x| \].