Через вершины \(M\) и \(K\) треугольника \(KLM\) проведена окружность, касающаяся прямых \(ML\) и \(KL\). На этой окружности выбрана точка \(S\) (внутри треугольника), лежащая на расстоянии \(\sqrt{2}\) от прямой \(MK\). Найдите расстояние от точки \(S\) до \(KL\), если известно, что \(\angle MKS = \angle KLS\) и \(\angle SKL = 60^{\circ}\).

Решение

Положим \(\angle MKS(=\angle KLS)=\alpha \) и искомое расстояние от \( \rho \left( S; KL \right) = x\).

Вспомним \(\href{https://examp.info/theorem/ob-ugle-mezhdu-kasatelnoj-i-hordoj/}{ \text{теорему об угле между касательной и хордой}}\)\(-\) градусная мера угла, образованного касательной к окружности и хордой с концом в точке касания, равна половине градусной меры дуги окружности, заключённой внутри этого угла.

Поскольку угол \(SMK\) опирается на дугу \(SK\), а \(KL -\) касательная, справедливо \(\angle SMK = \angle SKL = 60^{\circ} = \dfrac{\pi}{3}\). Аналогично, \(\angle SML = \angle MKS = \alpha \). Тогда из \(\href{https://examp.info/theorem/teorema-sinusov/}{ \text{теоремы синусов}}\), применённой к треугольнику \(KLM\), следует, что
\[\dfrac{MK}{KL}=\dfrac{\sin (\pi -2\alpha -2\pi/3 )}{\sin(\alpha + \pi/3)}=\dfrac{-\sin(\ -2(\alpha+\pi/3))}{\sin(\alpha+\pi/3)}=2\cos\left( \alpha+ \dfrac{\pi}{3} \right).\]
То же самое можно было бы получить, опустив перпендикуляр из \(L\) на \(MK\), поскольку \(ML=KL\) как \(\href{https://examp.info/theorem/o-kasatelnyh/}{касательные}\).

С другой стороны, треугольники \(MKS\) и \(KLS\) \(\href{https://examp.info/onedef/podobnye-treugolniki/}{подобны}\) (в силу равенства соответствующих углов), откуда
\[\dfrac{MK}{KL}=\dfrac{SP}{SQ}=\dfrac{SP}{SK}\cdot\dfrac{SK}{SQ}=\dfrac{2\sin \alpha}{\sqrt{3}},\]
где \(SP\) и \(SQ -\) перпендикуляры, опущенные из \(S\) на \(MK\) и \(KL\) соответственно. Значит ,
\[ \dfrac{\sqrt{2}}{x} = \dfrac{2\sin \alpha}{\sqrt{3}} \Rightarrow x = \dfrac{\sqrt{6}}{2\sin \alpha} .\]

Остаётся найти \(\sin \alpha\)
\[2\cos\left( \alpha+\dfrac{\pi}{3} \right)=\dfrac{2\sin \alpha}{\sqrt{3}},\]
откуда
\[\cos\alpha = \sin\alpha \cdot \left( \sqrt{3} + \dfrac{2}{\sqrt{3}} \right)\]
и
\[\text{ctg}\alpha=\dfrac{5}{\sqrt{3}}\]
Поскольку \(\alpha\) ограничен \(\dfrac{\pi}{2}\), выражая \(\sin\alpha\) через \(\text{ctg}\alpha\), получаем
\[\sin^2\alpha=\dfrac{1}{1 + \text{ctg}^2 \alpha}=\dfrac{3}{28} \Rightarrow \sin \alpha =\dfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}.\]
Получаем
\[x = \dfrac{\sqrt{6}}{2} \cdot \dfrac{2\sqrt{7}}{\sqrt{3}} = \sqrt{14}.\]

Ответ: \(\sqrt{14}\).