Дана трапеция \(ABCD\) с основаниями \(AD\) и \(BC\). Пусть \(M\) – середина отрезка \(AD\), а \(N\) – произвольная точка отрезка \(BC\). Пусть \(K\) – пересечение отрезков \(CM\) и \(DN\), а \(L\) – пересечение отрезков \(MN\) и \(AC\). Найдите все возможные значения площади треугольника \(ABL,\) если известно, что \(AD:BC = 5:2,\) а площадь треугольника \(DMK\) равна 5.

Решение

Обозначим \(AD=5x,BC=2x,NC=m\). Тогда \(AM=MD=\frac{5}{2}x, BN = 2x-m\).
Треугольник \(NLC\) подобен треугольнику \(MLA\) (по двум углам).
\(\dfrac{AL}{CL} = \dfrac{\frac{5}{2}x}{m} =\dfrac{ML}{LN} \Rightarrow \dfrac{S_{BLA}}{S_{BLC}} = \dfrac{\frac{5}{2}x}{m}\), т.к. у них общая высота к основаниям \(AL\) и \(LC\) из вершины \(B\), из чего следует, что \(S_{BLA} =\dfrac{5x}{2m} S_{BLC}\).

\(\dfrac{S_{NLC}}{S_{BNL}} = \dfrac{m}{2x}\), т.к. у них общая высота к основаниям \(BC\) и \(CN\) из вершины \(L\). Тогда \(S_{BLC} =\dfrac{2x}{m}S_{NLC}\).

Треугольник \(NKC\) подобен треугольнику \(DKM\) (по двум углам).
\(\dfrac{MK}{KC} = \dfrac{\frac{5}{2}x}{m} =\dfrac{ML}{LN} \Rightarrow LK \parallel BC\). Тогда \(\dfrac{S_{NLC}}{S_{NKC}}\) будет иметь такое же соотношение, как и высоты к основанию \(NC\) опущенные из вершин \(L\) и \(K\), то так как \(LK\parallel NC\) получим, что \(S_{NLC}=S_{NKC}\).

Из подобия треугольников \(NKC\) и \(DKM\) получим
\(\dfrac{S_{NKC}}{S_{DKM}} = \dfrac{m^2}{\frac{25}{4}x^2}\), из чего следует, что \(S_{NKC} =\dfrac{m^2}{\frac{25}{4}x^2}S_{DKM}\).

Тогда \(S_{DKM} =\dfrac{\frac{25}{4}x^2\cdot S_{NKC}}{m^2} = \dfrac{\frac{25}{4}x^2\cdot S_{NLC}}{m^2} = \dfrac{\frac{25}{4}x^2\cdot \dfrac{m}{2x}\cdot S_{BLC}}{m^2} = \dfrac{\frac{25}{4}x^2\cdot \frac{m}{2x}\cdot S_{ABL}\cdot \dfrac{m}{\frac{5}{2}x}}{m^2} = 5\).
Тогда \(S_{ABL} = \dfrac{5m^2}{\frac{25}{4}x^2\cdot \frac{m}{2x}\cdot \dfrac{m}{\frac{5}{2}x}} = 4\).

Ответ: \(4\).