Решите неравенство \(6^{x^2} + 6^{2x} \leqslant 2^{x^2 + 2x} + 3^{x^2 + 2x}.\)

Решение

\[6^{x^2} + 6^{2x} \leqslant 2^{x^2 + 2x} + 3^{x^2 + 2x} \iff
\]\[
(2\cdot3)^{x^2} + (2\cdot3)^{2x} - 2^{x^2}\cdot2^{2x} - 3^{x^2}\cdot3^{2x} \leqslant 0 \iff
\]\[
2^{x^2}\cdot3^{x^2} + 2^{2x}\cdot3^{2x} - 2^{x^2}\cdot2^{2x} - 3^{x^2}\cdot3^{2x} \leqslant 0
\iff \] \[
2^{x^2}\cdot3^{x^2} + 4^x\cdot9^x - 2^{x^2}\cdot4^x - 3^{x^2}\cdot9^x \leqslant 0
\iff \] \[
2^{x^2} \cdot (3^{x^2} - 4^{x}) - 9^{x} \cdot (3^{x^2} - 4^{x}) \leqslant 0 \iff
\] \[
(2^{x^2} - 9^{x})(3^{x^2} - 4^{x}) \leqslant 0 \iff
\] \[
(x^2 - x \cdot \log_{2} 9)(x^2 - x \cdot \log_{3} 4)\leqslant 0 \iff
\] \[
x^2(x - \log_2 9)(x - \log_3 4)\leqslant 0 \iff
\]\[
x\in {0}\cup[\log_3 4; \log_2 9]\].

Ответ: \(x\in {0}\cup[\log_3 4; \log_2 9]\).