Григорий с друзьями решили устроить пикник. Для этого им от пункта А нужно добраться вниз по реке до пункта В, причем в их распоряжении есть два катера. Считая себя самым ответственным, Григорий вызвался самостоятельно доехать до пункта В на более быстроходном катере и начать готовить место для пикника. Оба катера вышли одновременно из пункта А. Однако, промчавшись шесть километров, Григорий заметил на берегу машущего ему рукой Василия, который просил по старой дружбе довезти его до пункта С. И хоть пункт С Григорий уже проехал, он согласился. По пути в пункт С Василий с Григорием встретили идущий навстречу второй катер с друзьями Григория, откуда те крикнули, что им до пункта В осталась четверть пути и чтобы Григорий нигде не задерживался. Доставив Василия в пункт С, Григорий немедленно помчался догонять друзей. Найдите расстояние между пунктами В и С, если известно, что оба катера пришли в пункт В одновременно, скорости катеров постоянны, а Григорий, действительно, нигде не задерживался.

Решение

Пусть \(v_1\) — скорость медленного катера относительно берега, \(v_2\) и \(v_3\) — скорости быстрого катера относительно берега при движении вниз и вверх по реке соответственно. Пусть \(t_1\) — время между общим стартом и встречей Григория и Василия, \(t_2\) — время между встречей Григория и Василия и их встречей со вторым катером, \(t_3\) — время между встречей со вторым катером и прибытием в пункт \(C\) и \(t_4\) — время, ушедшее у Григория на дорогу от пункта \(C\) до пункта \(B\). Обозначим также буквой \(X\) место промежуточной встречей катеров. Тогда расстояние от \(A\) до \(X\) равно, с одной стороны, \(v_1(t_1+t_2)\) а с другой \(v_2 t_1 \ -v_3 t_2\). Аналогично, расстояние от \(X\) до \(B\) равно, с одной стороны, \(v_1(t_3+t_4)\), а с другой \(v_2 t_4 \ -v_3 t_3\). При этом первое расстояние по условию в три раза больше второго. Отсюда
\[\left\{ \begin{array}{lcl} t_1+t_2=3(t_3+t_4), \\ v_2 t_1\ - v_3 t_2 = 3(v_2 t_4\ -v_3 t_3); \end{array} \right. \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{lcl} t_1\ -3t_4=3t_3\ -t_2, \\ t_1\ - 3t_4 = (t_2\ -3t_3)\dfrac{v_3}{v_2}. \end{array} \right.\]
Домножим первое уравнение на \(\dfrac{v_3}{v_2}\) и сложим со вторым. Получим
\[(t_1\ -3t_4)\left(1+\dfrac{v_3}{v_2}\right)=0,\]
откуда \(t_1=3t_4\), то есть искомое расстояние равно третьей части от 6 км, то есть равно 2 км.

Ответ: 2 км.