Дана трапеция \(ABCD\) с основаниями \(AD\) и \(BC\). Пусть \(M\) – середина отрезка \(AD\), а \(N\) – произвольная точка отрезка \(BC\). Пусть \(K\) \(–\) пересечение отрезков \(CM\) и \(DN\), а \(L\) \(–\) пересечение отрезков \(MN\) и \(AC\). Найдите все возможные значения площади треугольника \(ABL,\) если известно, что \(AD:BC = 4:5\), а площадь треугольника \(DMK\) равна 2.

Решение

Обозначим \(AD=4x,BC=5x,NC=m\). Тогда \(AM=MD=2x, BN = 5x-m\).
Треугольник \(NLC\) \(\href{https://examp.info/theorem/priznaki-podobiya-treugolnikov//}{\text{подобен}}\) треугольнику \(MLA.\) Тогда:
\[\frac{AL}{CL} = \frac{2x}{m} =\frac{ML}{LN} \Rightarrow \frac{S_{BLA}}{S_{BLC}} = \frac{2x}{m}.\] Последнее равенство справедливо так как у данных треугольников общая высота, опущенная к основаниям \(AL\) и \(LC\) из вершины \(B\), из чего следует, что \[S_{BLA} =\frac{2x\cdot S_{BLC}}{m}.\]
Аналогично \(\dfrac{S_{NLC}}{S_{BLC}} = \dfrac{m}{5x}\), т.к. у данных треугольников общая высота, опущенная к основаниям \(BC\) и \(CN\) из вершины \(L\). Тогда \[S_{BLC} =\dfrac{5x}{m}S_{NLC}.\]
Треугольник \(NKC\) подобен треугольнику \(DKM.\) Тогда:
\[\dfrac{MK}{KC} = \dfrac{2x}{m} =\dfrac{ML}{LN}.\] Отсюда следует, что треугольники \(MLK\) и \(MNC\) подобны. Значит, углы \(\angle MLK\) и \(\angle MNC\) равны. Значит, \( LK \parallel BC\) по признаку параллельных прямых. Тогда высоты треугольников \(NKC\) и \(NLC,\) опущенные к основанию \(NC,\) (которое является общим для этих треугольников,) равны. Значит, \(S_{NLC}=S_{NKC}\).
Из подобия треугольников \(NKC\) и \(DKM\) получим:
\[\frac{S_{NKC}}{S_{DKM}} = \frac{m^2}{4x^2} \Rightarrow S_{NKC} =\frac{m^2}{4x^2}\cdot S_{DKM}.\]
Тогда \(S_{DKM} =\dfrac{4x^2\cdot S_{NKC}}{m^2} = \dfrac{4x^2\cdot S_{NLC}}{m^2} = \dfrac{4x^2\cdot \dfrac{m}{5x}\cdot S_{BLC}}{m^2} = \dfrac{4x^2\cdot \dfrac{m}{5x}\cdot S_{ABL}\cdot \dfrac{m}{2x}}{m^2} = 2.\)
Значит, \(S_{ABL} = \dfrac{2\cdot m^2}{4x^2\cdot \dfrac{m}{2x}\cdot \dfrac{m}{5x}} = 5.\)

Ответ: \(5\).