Исследовать сходимость знакоположительного ряда: \(\sum\limits_{n = 2}^\infty {\dfrac{1}{{n\ln n}}}.\)

Решение

\[\sum\limits_{n = 2}^\infty {\frac{1}{{n\ln n}}} \]\[\int\limits_2^{ + \infty } {\frac{1}{{x\ln x}}dx = } \int\limits_2^{ + \infty } {\frac{1}{{\ln x}}d\ln x = \ln |\ln x|\mathop |\limits_2^{ + \infty } } = \infty \]так как несобственный интеграл расходится, то по интегральному признаку Коши ряд \[\sum\limits_{n = 2}^\infty {\frac{1}{{n\ln n}}} \] также расходится

Ответ: Ряд расходится.