Решите уравнение \(\sin 7x \cdot \cos 11x = \sin x \cdot \cos 5x\).

Решение

Воспользуемся формулой произведения синуса и косинуса: \(\sin \alpha \cdot \cos \beta = \dfrac{1}{2}\cdot\sin \left(\alpha-\beta\right)+\dfrac{1}{2}\cdot\sin \left(\alpha+\beta\right)\).
\[\sin 7x \cdot \cos 11x = \dfrac{1}{2}\cdot\sin\left(-4x\right) +\dfrac{1}{2}\cdot \sin 18x,\] \[\sin x \cdot \cos 5x =\dfrac{1}{2}\cdot\sin\left(-4x\right) +\dfrac{1}{2}\cdot \sin 6x. \]

Тогда уравнение примет вид \(\sin 18x = \sin 6x \Leftrightarrow \sin 18x - \sin 6x = 0\).

По формуле разности синусов: \(\sin \alpha-\sin \beta = 2\cdot \sin\left(\dfrac{\alpha-\beta}{2}\right)\cdot\cos\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)\) получим, что
\begin{gather*}
2\cdot\sin\left(\dfrac{18x-6x}{2}\right)\cdot\cos\left(\dfrac{18x+6x}{2}\right)=0 \Leftrightarrow
\left[
\begin{array}{l}
\sin6x=0, \\
\cos12x =0.
\end{array}\right.\Leftrightarrow \ \\
\ \\
\Leftrightarrow
\left[
\begin{array}{l}
6x=\pi n,\quad n\in \mathbb{Z},\ \\
12x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k, \quad k\in \mathbb{Z}.\\
\end{array}\right.\Leftrightarrow \ \\
\ \\
\Leftrightarrow
\left[
\begin{array}{l}
x=\dfrac{\pi n}{6},\quad n\in \mathbb{Z},\ \\
x=\dfrac{\pi}{24}+\dfrac{\pi k}{12}, \quad k\in \mathbb{Z}.\\
\end{array}\right.
\end{gather*}

Примечание: ответ может быть записан в виде \(\dfrac{\pi k}{6}, \ \dfrac{(2k + 1)\pi}{24}, \ k \in \mathbb{Z}\).

Ответ: \(\dfrac{\pi k}{6}, \ \dfrac{(2k + 1)\pi}{24}, \ k \in \mathbb{Z}\).