Решите уравнение \(\sin 4x \cdot \cos 10x = \sin x \cdot \cos 7x\).

Решение

Воспользуемся \( \href{https://examp.info/theorem/sinusa-kosinusa-tangensa-summy-i-raznosti-uglov/}{ \text{формулой произведения синуса и косинуса}} \): \(\sin \alpha \cdot \cos \beta = \dfrac{1}{2}\cdot\sin \left(\alpha-\beta\right)+\dfrac{1}{2}\cdot\sin \left(\alpha+\beta\right)\).
\(\sin 4x \cdot \cos 10x = \dfrac{1}{2}\cdot\sin \left(-6x\right) +\dfrac{1}{2}\cdot \sin 14x,\)
\(\sin x \cdot \cos 7x =\dfrac{1}{2}\cdot\sin \left(-6x\right) +\dfrac{1}{2}\cdot \sin 8x \).
Тогда уравнение примет вид \(\sin 14x = \sin 8x \Leftrightarrow \sin 14x - \sin 8x = 0\).
По \( \href{https://examp.info/theorem/sinusa-kosinusa-tangensa-summy-i-raznosti-uglov/}{ \text{формуле разности синусов}} \): \(\sin \alpha-\sin \beta = 2\cdot \sin\left(\dfrac{1}{2}\left(\alpha-\beta\right)\right)\cdot\cos\left(\dfrac{1}{2}\left(\alpha+\beta\right)\right)\) получим, что
\( 2\cdot\sin\left(\dfrac{14x-8x}{2}\right)\cdot\cos\left(\dfrac{14x+8x}{2}\right)=0 \Leftrightarrow
\left[
\begin{gathered}
\sin3x=0 \\
\cos11x =0
\end{gathered}
\right.\Leftrightarrow
\left[
\begin{gathered}
3x=\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}\ \\
11x=\frac{\pi}{2}+\pi k, \quad k\in \mathbb{Z}\\
\end{gathered}
\right.\Leftrightarrow
\left[
\begin{gathered}
x=\frac{\pi n}{3},\quad n\in \mathbb{Z}\ \\
x=\frac{\pi}{22}+\dfrac{\pi k}{11}, \quad k\in \mathbb{Z}\\
\end{gathered}
\right.
\)

Примечание: ответ может быть записан в виде \(\frac{\pi k}{3}, \ \frac{(2k + 1)\pi}{22}, \ k \in \mathbb{Z}\).

Ответ: \(\frac{\pi k}{3}, \ \frac{(2k + 1)\pi}{22}, \ k \in \mathbb{Z}\).