Решите систему уравнений \(\left\{ \begin{array}{l} \frac{x}{\sin(x^2 - y^2)} - y \cdot \mathop{\mathrm{ctg}}(x^2 - y^2) = \sqrt{\frac{5\pi}{6}} \, ,
\\ \frac{y}{\sin(x^2 - y^2)} - x \cdot \mathop{\mathrm{ctg}}(x^2 - y^2) = \sqrt{\frac{\pi}{2}} \, . \end{array} \right.\)

Решение

Рассмотрим сумму и разность первого и второго уравнения:
\[(x + y)\left(\frac{1}{\sin(x^2 - y^2)} - \text{ctg}(x^2 - y^2)\right) = \sqrt{\dfrac{5\pi}{6}} + \sqrt{\dfrac{\pi}{2}},\]
\[(x - y)\left(\frac{1}{\sin(x^2 - y^2)} + \text{ctg}(x^2 - y^2)\right) = \sqrt{\dfrac{5\pi}{6}} - \sqrt{\dfrac{\pi}{2}}.\]
Перемножим эти два равенства:
\[(x^2\ -y^2)\left(\frac{1}{\sin^2(x^2\ - y^2)} - \text{ctg}^2(x^2\ - y^2)\right) = \dfrac{\pi}{3},\]
откуда \(x^2\ - y^2=\dfrac{\pi}{3}\). Подставляя в исходную систему, получаем
\[
\left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{2}{\sqrt 3}x - \dfrac{1}{\sqrt{3}}y=\sqrt{\dfrac{5\pi}{6}}\\
\dfrac{2}{\sqrt 3}y - \dfrac{1}{\sqrt{3}}x=\sqrt{\dfrac{\pi}{2}}
\end{array}\right. \Leftrightarrow
\left\{ \begin{array}{l}
2x\ -y=\sqrt{\dfrac{5\pi}{2}} \\
2y\ -x=\sqrt{\dfrac{3\pi}{2}}
\end{array}\right. \Leftrightarrow
\left\{ \begin{array}{l}
x = \dfrac{2\sqrt{5} + \sqrt{3}}{3\sqrt{2}} \cdot \sqrt{\pi} \\
y = \dfrac{\sqrt{5} + 2\sqrt{3}}{3\sqrt{2}} \cdot \sqrt{\pi}
\end{array}\right.
\]
Остаётся заметить, что полученные значения удовлетворяют условию \(x^2\ -y^2=\dfrac{\pi}{3}\).

Ответ: \(x = \frac{2\sqrt{5} + \sqrt{3}}{3\sqrt{2}} \cdot \sqrt{\pi}\), \(y = \frac{\sqrt{5} + 2\sqrt{3}}{3\sqrt{2}} \cdot \sqrt{\pi}\).