Найдите все значения параметра \(p\), при которых система \( \left\{ \begin{array}{l} px^2 + 6px - 12y + 11p + 18 \leqslant 0 \\ py^2 - 2py - 12x + 3p - 30 \leqslant 0 \end{array} \right.\) имеет ровно одно решение.

Решение

Выделим \(\href{https://examp.info/theorem/vydeleniya-polnogo-kvadrata/}{\text{полные квадраты}}\):
\begin{gather*}
\left\{
\begin{array}{l}
p\left(x+3\right)^2 - 12y + 2p + 18 \leqslant 0, \\
p\left(y-1\right)^2 - 12x + 2p - 12 \leqslant 0.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \ \\
\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l}
p\left(x+3\right)^2 - 12(y-1) + 2p + 6 \leqslant 0, \\
p\left(y-1\right)^2 - 12(x+3) + 2p + 6 \leqslant 0. \end{array} \right.
\end{gather*}

Сделаем замену \(\overline{x} = x + 3, \overline{y} = y - 1\).
Получим систему:
\[\left\{ \begin{array}{l}
p\overline{x}^2 - 12\overline{y} + 2p + 6 \leqslant 0, \\
p\overline{y}^2 - 12\overline{x} + 2p + 6 \leqslant 0.
\end{array} \right.\]
Система симметрична, значит вместе с решением \(\left(\overline{x},\overline{y}\right)\) решением будет и \(\left(\overline{y},\overline{x}\right)\). Значит рассмотрим случай, когда \(\overline{x} = \overline{y}\).

\(p\overline{x}^2 - 12\overline{x} + 2p + 6 \leqslant 0 \) будет иметь единственное решение при:
\begin{gather*}
D = b^2-4ac = 0 \Leftrightarrow \ \\
\Leftrightarrow 144 - 8p^2-24p = 0 \Leftrightarrow \ \\
\Leftrightarrow p^2+3p-18 = (p+6)(p-3)=0 \Leftrightarrow \ \\
\Leftrightarrow
\left[
\begin{gathered}
p = 3,\\
p = -6.
\end{gathered}
\right.
\end{gather*}
При \(p=-6\) получим:
\begin{gather*}
-6\overline{x}^2-12\overline{x}-6\leqslant0 \Leftrightarrow \ \\
\Leftrightarrow \overline{x}^2+2\overline{x}+1 \geqslant 0\Leftrightarrow \ \\
\Leftrightarrow\left(\overline{x}+1\right)^2 \geqslant 0.
\end{gather*}
Имеем бесконечно много решений.

При \(p=3\) получим:
\begin{gather*}
3\overline{x}^2-12\overline{x}+12\leqslant 0 \Leftrightarrow \ \\
\left(\overline{x}-2\right)^2 \leqslant 0 \Rightarrow \ \\
\Rightarrow\overline{x} = 2.
\end{gather*}
Получили единственное решение. Тогда, учитывая замену и замечания, получим, что при \(p=3\) единственным решением системы будет \(\left(x,y\right) = \left(0,4\right)\).

Ответ: \(p = 3\).