Исследовать сходимость ряда \(\frac{2}{1} + {\left( {\frac{3}{3}} \right)^2} + {\left( {\frac{4}{5}} \right)^2} + \ldots + {\left( {\frac{{n + 1}}{{2n - 1}}} \right)^n} + \ldots\)

Решение

\[\begin{array}{l}{a_n} = {\left( {\frac{{n + 1}}{{2n - 1}}} \right)^n}\\\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{{{a_n}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{{{{\left( {\frac{{n + 1}}{{2n - 1}}} \right)}^n}}} = \\ = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{n + 1}}{{2n - 1}} = \frac{1}{2} < 1 \end{array}\]
По признаку Коши данный ряд сходится.

Ответ: Ряд сходится.