Решите систему уравнений \[ \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{x}{\cos(x^2 - y^2)} + y \cdot \mathop{\mathrm{tg}}(x^2 - y^2) = \sqrt{\dfrac{\pi}{2}} \, , \\ \dfrac{y}{\cos(x^2 - y^2)} + x \cdot \mathop{\mathrm{tg}}(x^2 - y^2) = -\sqrt{\dfrac{\pi}{6}} \, . \end{array} \right.\]

Решение

Рассмотрим сумму и разность первого и второго уравнения:\[
(x+y)\left(\dfrac{1}{\cos \left(x^{2}-y^{2}\right)}+\operatorname{tg}\left(x^{2}-y^{2}\right)\right)=\sqrt{\dfrac{\pi}{2}}-\sqrt{\dfrac{\pi}{6}},\]\[
(x-y)\left(\dfrac{1}{\cos \left(x^{2}-y^{2}\right)}-\operatorname{tg}\left(x^{2}-y^{2}\right)\right)=\sqrt{\dfrac{\pi}{2}}+\sqrt{\dfrac{\pi}{6}} .
\]
Перемножим эти два равенства:\[
\left(x^{2}-y^{2}\right)\left(\dfrac{1}{\cos ^{2}\left(x^{2}-y^{2}\right)}-\operatorname{tg}^{2}\left(x^{2}-y^{2}\right)\right)=\dfrac{\pi}{3}
\]
откуда \(x^{2}-y^{2}=\pi / 3.\) Подставляя в исходную систему, получаем\[
\left\{\begin{array} { l }
{ 2x + \sqrt{3}y = \sqrt{\dfrac{\pi}{2}},} \\
{ 2y + \sqrt{3}x = -\sqrt{\dfrac{\pi}{6}}}
\end{array}\right. \Longleftrightarrow
\]\[ \Longleftrightarrow
\left\{\begin{array} { l }
{ x = 3\sqrt{\dfrac{\pi}{2}}, } \\
{ y = -5\sqrt{\dfrac{\pi}{6}}. }
\end{array}\right.
\]
Остается заметить, что полученные значения удовлетворяют условию \(x^{2}-y^{2}=\pi / 3.\)

Ответ: \(x = 3\sqrt{\dfrac{\pi}{2}}, y = -5\sqrt{\dfrac{\pi}{6}}\).