Найдите все значения параметра \(p\), при которых разность между корнями уравнения \(x^2 + px + 3p^4 = 0\) максимальна.

Решение

Вычислим дискриминант квадратного трёхчлена:
\[D = p^2-12p^4.\]
Более двух корней существует, когда:
\[p^2-12p^4>0 \Leftrightarrow p^2<\dfrac{1}{12}, p \ne 0. \]
Его корни \(-\) \(\dfrac{-p+\sqrt{p^2-12p^4}}{2}\) и \(\dfrac{-p-\sqrt{p^2-12p^4}}{2}\).
Тогда разность между корнями \(\sqrt{p^2-12p^4}\). Это выражение максимально, когда максимально \(p^2-12p^4\).
\(1\) способ:
Сделаем замену: \(t=p^2\). Тогда выражение примет вид: \(-12t^2+t\).
Это квадратная парабола ветвями вниз, значит максимальное значение булет при \(t=\frac{-b}{2a}=\frac{-1}{-24}=\frac{1}{24}\), тогда \(p = \pm \frac{1}{2\sqrt{6}}\).
\(2\) способ:
Исследуем производную этого выражения на области его определения:
\begin{gather*}
f'(p)=2p-48p^3=0 \Leftrightarrow \ \\
\Leftrightarrow -p\left(p^2-\frac{1}{24}\right)= 0 \Leftrightarrow \ \\
\Leftrightarrow -p\left(p-\frac{1}{2\sqrt{6}}\right)\left(p+\frac{1}{2\sqrt{6}}\right)= 0\ \\
\end{gather*}
Заметим, что \( \href{https://examp.info/theorem/intervalov/}{\text{по методу интервалов}}\) функция возрастает на отрезках \((-\infty,-\frac{1}{2\sqrt{6}}] \cup[0, \frac{1}{2\sqrt{6}}]\)
и убывает на \([-\frac{1}{2\sqrt{6}},0] \cup[\frac{1}{2\sqrt{6}},+\infty)\), значит точки \(p = \pm \frac{1}{2\sqrt{6}}\), это локальные максимумы.

Ответ: \(p = \pm \frac{1}{2\sqrt{6}}\).