Найдите наибольшее пятизначное число, которое в \(51\) раз больше квадрата суммы своих цифр. Решение обоснуйте.

Решение

Обозначим \(x\) – искомое число, \(s\) – сумма его цифр. Тогда \(x = 3 * 17 * s^2\).
Следовательно, \(x\) делится нацело на \(3\). По признаку делимости на \(3\), число \(s\) делится на \(3\). Но тогда \(x\) делится на \(9\). По признаку делимости на \(9\), \(s\) делится на \(9\).
Так как искомое число пятизначное, то для \(s\) возможны \(5\) вариантов: \(s = 9\), \(s = 18\), \(s = 27\), \(s = 36\), \(s = 45\). Для каждого \(s\), соответственно, находим: \(x = 4131\), \(x = 16524\), \(x = 37179\), \(x = 66096\), \(x = 103275\).
Первое и последнее – не пятизначные, у четвертого сумма цифр не равна \(36\). Подходящие: \(x = 16524\), \(x = 37179\).

Ответ: 37179.