Дана трапеция \(ABCD\) с основаниями \(AD\) и \(BC\). Пусть \(M\) – середина отрезка \(AD\), а \(N\) – произвольная точка отрезка \(BC\). Пусть \(K\) – пересечение отрезков \(CM\) и \(DN\), а \(L\) – пересечение отрезков \(MN\) и \(AC\). Найдите все возможные значения площади треугольника \(DMK\), если известно, что \(AD:BC = 4:3\), а площадь треугольника \(ABL\) равна 3.

Решение

Обозначим \(AD=4x,BC=3x,NC=m\). Тогда \(AM=MD=2x, BN = 3x-m\).
Треугольник \(NLC\) подобен треугольнику \(MLA\).

\(\dfrac{AL}{CL} = \dfrac{2x}{m} =\dfrac{LM}{LN} \Rightarrow \dfrac{S_{BLA}}{S_{BLC}} = \dfrac{2x}{m}\), т.к. у них общая высота к основаниям \(AL\) и \(LC\) из вершины \(B\), из чего следует, что \(S_{BLC} =\dfrac{3m}{2x}\).

\(\dfrac{S_{NLC}}{S_{BLC}} = \dfrac{m}{3x}\), т.к. у них общая высота к основаниям \(BC\) и \(CN\) из вершины \(L\). Тогда \(S_{NLC} =\dfrac{m}{3x}S_{BLC}\).

Треугольник \(NKC\) подобен треугольнику \(DKM\).

\(\dfrac{MK}{KC} = \dfrac{2x}{m} =\dfrac{ML}{LN} \Rightarrow LK \parallel BC\). Тогда \(\dfrac{S_{NLC}}{S_{NKC}}\) будет иметь такое же соотношение, как и высоты к основанию \(NC\) опущенные из вершин \(L\) и \(K\), то так как \(LK\parallel NC\) получим, что \(S_{NLC}=S_{NKC}\).

Из подобия треугольников \(NKC\) и \(DKM\) получим

\(\dfrac{S_{NKC}}{S_{DKM}} = \dfrac{m^2}{4x^2}\) \(B\), из чего следует, что \(S_{DKM} =\dfrac{4x^2\cdot S_{NKC}}{m^2}\).

Тогда \(S_{DKM} =\dfrac{4x^2\cdot S_{NKC}}{m^2} = \dfrac{4x^2\cdot S_{NLC}}{m^2} = \dfrac{4x^2\cdot \dfrac{m}{3x}\cdot S_{BLC}}{m^2} = \dfrac{4x^2\cdot \dfrac{m}{3x}\cdot\dfrac{3m}{2x}}{m^2} = 2\).

Ответ: \(2\).