Борис с друзьями решили устроить пикник. Для этого им от пункта А нужно добраться вверх по реке до пункта В, причем в их распоряжении есть два катера. Считая себя самым ответственным, Борис вызвался самостоятельно доехать до пункта В на более быстроходном катере и начать готовить место для пикника. Оба катера вышли одновременно из пункта А. Однако, промчавшись десять километров, Борис заметил на берегу машущего ему рукой Анатолия, который просил по старой дружбе довезти его до пункта С. И хоть пункт С Борис уже проехал, он согласился. По пути в пункт С Анатолий с Борисом встретили идущий навстречу второй катер с друзьями Бориса, откуда те крикнули, что пункт В уже совсем близко и чтобы Борис нигде не задерживался. Доставив Анатолия в пункт С, Борис немедленно помчался догонять друзей. Определите, какую долю пути оставалось пройти друзьям Бориса от момента встречи с ним и Анатолием, если известно, что оба катера пришли в пункт В одновременно, расстояние между пунктами В и С равно 2 км, скорости катеров постоянны, а Борис, действительно, нигде не задерживался.

Решение

Пусть \(v_1\) \(-\) скорость медленного катера относительно берега, \(v_2\) и \(v_3\) \(-\) скорости быстрого катера относительно берега при движении вверх и вниз по реке соответственно. Пусть \(t_1\) \(-\) время между общим стартом и встречей Бориса и Анатолия, \(t_2\) \(-\) время между встречей Бориса и Анатолия и их встречей со вторым катером, \(t_3\) \(-\) время между встречей со вторым катером и прибытием в пункт \(C\) и \(t_4\) \(-\) время, ушедшее у Бориса на дорогу от пункта \(C\) до пункта \(B\). Обозначим также буквой \(X\) место промежуточной встречи катеров, буквой \(D\) место встречи Бориса и Анатолия, а буквой \(r -\) отношение \(BX/AB\).Тогда расстояние от \(A\) до \(X\) равно, с одной стороны, \(v_1(t_1+t_2)\) а с другой \(v_2 t_1 \ -v_3 t_2\). Аналогично, расстояние от \(X\) до \(B\) равно, с одной стороны, \(v_1(t_3+t_4)\), а с другой \(v_2 t_4 \ -v_3 t_3\). При этом выполняется соотношение
\[\left\{ \begin{array}{lcl} r \cdot \left( t_1+t_2 \right) = \left( r - 1 \right) \cdot \left( t_3+t_4 \right), \\
r \cdot \left( v_2 t_1\ - v_3 t_2 \right) = \left( r - 1 \right) \cdot \left( v_2 t_4\ -v_3 t_3 \right); \end{array} \right.
\Leftrightarrow
\left\{ \begin{array}{lcl} t_1\ - \left(\dfrac{1 - r}{r}\right) \cdot t_4= \left(\dfrac{1 - r}{r}\right) \cdot t_3\ -t_2, \\
t_1\ - \left(\dfrac{1 - r}{r}\right) \cdot t_4 = \left( t_2\ - \left(\dfrac{1 - r}{r}\right) \cdot t_3 \right)\dfrac{v_3}{v_2}. \end{array} \right.\]
Домножим первое уравнение на \(\dfrac{v_3}{v_2}\) и сложим со вторым. Получим
\[(t_1\ - \left(\dfrac{1 - r}{r}\right) \cdot t_4)\left(1+\dfrac{v_3}{v_2}\right)=0,\]
откуда \(r = \dfrac{t_4}{t_1 + t_4} \), но по условию \(AD = v_2 t_1 = 10 \)(км.) и \(BC = v_2 t_4 = 2\)(км.) , значит \(r = \dfrac{v_2 t_4}{v_2 t_1 + v_2 t_4} = \dfrac{2}{12} = \dfrac{1}{6}\), следовательно \(BX\) составляет \(\dfrac{1}{6}\) от всего пути.

Ответ: \(\frac 16 S_{AB}\).