Дан прямоугольный параллелепипед \(ABCDA^′B^′C^′D^′\) с боковыми ребрами \(AA^′\), \(BB^′\), \(CC^′\), \(DD^′\). На ребрах \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DA\) нижнего основания отмечены соответственно точки \(K\), \(L\), \(M\), \(N\) таким образом, что \(AK:KB = 4:5\), \(BL:LC = 3:1\), \(CM:MD = 7:2\), \(DN:NA = 3:1\). Пусть \(P\), \(Q\), \(R\) – центры сфер, описанных около тетраэдров \(AKNA^′\), \(BLKB^′\), \(CMLC^′\) соответственно. Найдите \(PQ\), если известно, что \(QR = 1\) и \(AB:BC = 3:2\).

Решение

Обозначим \(AA^′ = h, AB = 18x\). Тогда \[BC = 12x, AK=8x, KB=10x, BL = 9x, LC = 3x, CM = 14x, MD = 4x, DN = 9x, NA = 3x.\] Рассмотрим тетраэдр \(AKNA^′\). Достроим его до параллелепипеда (зелёный пунктир). Тогда центр \(P\) сферы, описывающий тетраэдр, будет также центром сферы, описанной вокруг данного параллелепипеда и будет являться пересечением диагоналей \(KN^′\) и \(NK^′\).
Аналогично рассмотрим тетраэдры \(BLKB^′\) и \(CMLC^′.\)

Введём прямоугольную систему координат с центром в \(A\) и осями \(AB, AD, AA^′\). Тогда координаты точки \(P = \left(4x, \frac{3}{2}x,\frac{h}{2}\right), Q = \left(13x,\frac{9}{2}x, \frac{h}{2}\right), R = \left(11x,\frac{21}{2}x,\frac{h}{2}\right).\)

Тогда, по условию \(1=QR=\sqrt{\mathstrut \left(11x-13x\right)^2+\left(\frac{21}{2}x-\frac{9}{2}x\right)^2 + 0} = \sqrt{\mathstrut 4x^2 + 36x^2} \Rightarrow x^2 = \dfrac{1}{40}.\)

Найдём расстояние \(PQ = \sqrt{\mathstrut \left(13x-4x\right)^2+\left(\frac{9}{2}x-\frac{3}{2}x\right)^2 + 0} = \sqrt{\mathstrut 81x^2+9x^2} = \sqrt{\mathstrut 90x^2}\). Подставим найденный выше \(x^2\) и получим \(PQ = \sqrt{\mathstrut \frac{90}{40}} = \frac{3}{2}.\)

Ответ: \( \frac{3}{2}\).