Найдите все значения параметра \(p\), при которых разность между корнями уравнения \(x^2 + px + 5p^4 = 0\) максимальна.

Решение

Вычислим дискриминант квадратного трёхчлена: \(D = p^2-20p^4\). Более двух корней существует, когда \(p^2-20p^4>0 \Leftrightarrow p^2<\dfrac{1}{20}, p \neq 0 \).
Корни данного уравнения равны \(\dfrac{-p+\sqrt{p^2-20p^4}}{2}\) и \(\dfrac{-p-\sqrt{p^2-20p^4}}{2}\).
Тогда разность между корнями \(\sqrt{p^2-20p^4}\). Это выражение максимально, когда максимально \(p^2-20p^4\).
Исследуем производную этого выражения на области его определения: \(2p-80p^3=2p(1-40p^2)=2p(1-2\sqrt{10}p)(1+2\sqrt{10}p).\) Все три нуля производной \(\big(0, \pm \frac{1}{2\sqrt{10}}\big)\) принадлежат интервалу \(-\frac{1}{\sqrt{20}}<p<\frac{1}{\sqrt{20}}.\) С помощью \(\href{https://examp.info/theorem/intervalov/}{\text{метода интервалов}}\) получаем, что производная больше нуля при \(-\frac{1}{\sqrt{20}}<p<-\frac{1}{\sqrt{40}}\) и \(0<p<\frac{1}{\sqrt{40}},\) производная меньше нуля при \(-\frac{1}{\sqrt{40}}<p<0\) и \(\frac{1}{\sqrt{40}}<p<\frac{1}{\sqrt{20}}.\) Таким образом, функция достигает своего максимума в точках \(p=\pm \frac{1}{2\sqrt{10}}.\)

Ответ: \(p = \pm \frac{1}{2\sqrt{10}}\).